Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$
Đặng Minh Đức CTBer
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ Khi đó ta có: $VT=\sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}$. Đến đây có dạng $f(a),f(b),f(c)$ và dự đoán điểm rơi tại $a=b=c$. Nên ta áp dụng $UTC$ $(Q.E.D)$
Edited by hoangkimca2k2, 28-03-2018 - 16:30.
Chuẩn hóa $a+b+c=3$ Khi đó ta có: $VT=\sum \frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}$. Đến đây có dạng $f(a),f(b),f(c)$ và dự đoán điểm rơi tại $a=b=c$. Nên ta áp dụng $UTC$ $(Q.E.D)$
Mình cũng có thử cách trên nhưng không dược ,không biết bn lm thế nào
Đặng Minh Đức CTBer
Mình cũng có thử cách trên nhưng không dược ,không biết bn lm thế nào
$Ok$ bạn
Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có: $\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}=\frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}=\frac{a^{2}}{6a^{2}-6a+9}$
Ta cần Cm: $\sum \frac{a^{2}}{6a^{2}-6a+9}\geq ma+n$. Từ đó xét: $f(x)=\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}$
Edited by hoangkimca2k2, 30-03-2018 - 21:54.
$Ok$ bạn
Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Ta có: $\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}=\frac{a^{2}}{5a^{2}+(3-a)^{2}}=\frac{a^{2}}{6a^{2}-6a+9}$
Ta cần Cm: $\sum \frac{a^{2}}{6a^{2}-6a+9}\geq ma+n$. Từ đó xét: $f(x)=\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}$
Để tìm $m,n$ ta giải hệ sau: $\left\{\begin{matrix}f(1)=m+n=\frac{1}{9} & \\ f^{'}(1)=m=\frac{4}{27} & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow m=\frac{4}{27};n=-\frac{1}{27}$.Nên $\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}\geq \frac{4}{27}x-\frac{1}{27}$.(cái này CM chỉ cần biến đổi tương đương là ra thôi )Áp dụng vào bài toán ta có $(Q.E.D)$
Biến đổi phần tiếp theo của bn
$\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}\leq \frac{4x-1}{27}$
$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2x^{2}-2x+3}\leq \frac{4x-1}{9}$
$\Leftrightarrow 9x^{2}\leq 8x^{3}-10x^{2}+14x-3$
$\Leftrightarrow 8x^{3}-19x^{2}+14x-3\geq 0\Leftrightarrow (x-1)^{2}.(8x-3)\geq 0$
Điều này chưa đúng ?
Edited by minhducndc, 31-03-2018 - 17:58.
Đặng Minh Đức CTBer
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng
$\frac{a^{2}}{5a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{5b^{2}+(a+c)^{2}}+\frac{c^{2}}{5c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \frac{1}{3}$
Bài này của thầy Võ Quốc Bá Cẩn
Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có:
$\frac{9a^2}{5a^2+(b+c)^2}=\frac{(a+2a)^2}{(a^2+b^2+c^2)+2(2a^2+bc)}\leq \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc}$
$\Rightarrow 9\sum \frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2}\leq 1+2\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}$
Bài toán quy về chứng minh:
$\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{2a^2+bc}\geq 1$
Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$
BĐT trở thành:
$\sum \frac{x^2}{x^2+2yz}\geq 1$
BĐT cuối cùng theo Cauchy - Schwarz $\sum \frac{x^2}{x^2+2yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Biến đổi phần tiếp theo của bn
$\frac{x^{2}}{6x^{2}-6x+9}\leq \frac{4x-1}{27}$
$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{2x^{2}-2x+3}\leq \frac{4x-1}{9}$
$\Leftrightarrow 9x^{2}\leq 8x^{3}-10x^{2}+14x-3$
$\Leftrightarrow 8x^{3}-19x^{2}+14x-3\geq 0\Leftrightarrow (x-1)^{2}.(8x-3)\geq 0$
Điều này chưa đúng ?
cái này dùng phương pháp hàm số cx đc mak
0 members, 1 guests, 0 anonymous users