Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng
$$ab+bc+ca\geq 3+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Darkness17: 23-03-2018 - 20:08
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng
$$ab+bc+ca\geq 3+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Darkness17: 23-03-2018 - 20:08
Đk tương đương với $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{bc}=1$.Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng $ab+bc+ca\geq 3+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$
Lời giải. Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $xy+yz+zx=1$ và ta cần chứng minh: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geqslant 3+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: $\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}\leqslant \sqrt{3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+3)}$
Như vậy, ta cần chứng minh: $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geqslant 3+\sqrt{3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+3)}$
$\Leftrightarrow (\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}-3)^2\geqslant 3(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3$)
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2b^2c^2}\geqslant 0$ (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh