Chủ đề này có 3 trả lời

[Darkness17]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng

$$ab+bc+ca\geq 3+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$$

[Kiratran]

$\sqrt{(\frac{1}{a^2}+1)a^2}\leq a(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

tương tự cộng vào ta được $9\leq ab+bc+ac$

mà $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+bc+ac}$

=> đpcm 

[hoangkimca2k2]

$\sqrt{(\frac{1}{a^2}+1)a^2}\leq a(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

tương tự cộng vào ta được $9\leq ab+bc+ac$

mà $\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\geq \frac{9}{ab+bc+ac}$

=> đpcm 

Chỗ này bị sai rồi 

Với lại cộng vào thì vẫn còn $\sum \frac{a}{2b}+\sum \frac{a}{2c}$ cái này thì xử lí ntn ạ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 28-03-2018 - 15:05

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng

$$ab+bc+ca\geq 3+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$$

Ta có $a+b+c=abc\Leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Lại có: $\sqrt{1+a^{2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{a^{2}})a^{2}}$

$\sqrt{1+a^{2}}=\sqrt{(1+\frac{1}{a^{2}})a^{2}}=a\sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}$

$\leq \frac{a}{2}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Tương tự ta có: $ab+bc+ac\geq 6+ \frac{a}{2b}+\frac{a}{2c}+\frac{b}{2a}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2a}+\frac{c}{2b}=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc}{2abc}$

$=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{2(a+b+c)}-\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 9(Q.E.D)$