Chủ đề này có 1 trả lời

[Kiratran]

Cho $a,b,c$ là số thực dương thỏa mãn :$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2} +\frac{c^3}{c^2+ac+a^2} =1$

Tìm Max : $a+b+c$

[nmtuan2001]

Cho $a,b,c$ là số thực dương thỏa mãn :$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} +\frac{b^3}{b^2+bc+c^2} +\frac{c^3}{c^2+ac+a^2} =1$
Tìm Max : $a+b+c$

Để ý $\sum \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=\sum (a-b)=0$, suy ra
$$\sum {a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum {b^3}{a^2+ab+b^2}$$
Do đó $\sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=2$.
Mà $3(a^2-ab+b^2)-(a^2+ab+b^2)=2(a-b)^2$, nên $a^2-ab+b^2 \geq \frac{a^2+ab+b^2}{3}$.
Suy ra $\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{a+b}{3}$.
Cộng từng vế các BĐT tương tự ta được
$$\frac{2(a+b+c)}{3} \leq \sum \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}=2$$
$$a+b+c \leq 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 24-03-2018 - 12:45