Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Sudden123

Sudden123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết

Đã gửi 24-03-2018 - 22:03

Tìm max biết $x,y \geq1$ ; $x+y+3=xy$
$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sudden123: 24-03-2018 - 22:06


#2 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 760 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 25-03-2018 - 08:25

$P=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^{2}-1}}{y}+\frac{1}{x+y}=\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}+\frac{1}{x+y}$

Áp dụng BĐT $a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$:

$\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\leq \sqrt{2(2-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}})}=\sqrt{2(2-\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}})}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

$xy=x+y+3\geq 3\sqrt[3]{3xy}=>xy\geq 9$

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+9\geq 6x \\ y^{2}+9\geq 6y \end{matrix}\right. =>x^{2}+y^{2}+36\geq 6(x+y+3)=6xy$

$=>x^{2}+y^{2}\geq 6xy-36=>\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{6xy-36}{x^{2}y^{2}}=\frac{6}{xy}-\frac{36}{x^{2}y^{2}}$

Ta sẽ CM:$\frac{6}{xy}-\frac{36}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{2}{9}<=>(\frac{6}{xy}-\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{1}{36}$ ( đúng do $xy\geq 9)$

=> $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{2}{9}=>\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\leq \frac{4\sqrt{2}}{3}$

Dễ dàng CM được $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{6}=>P\leq \frac{1}{6}+\frac{4\sqrt{2}}{3}<=>x=y=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 25-03-2018 - 08:28

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh