Chủ đề này có 1 trả lời

[Sudden123]

Tìm max biết $x,y \geq1$ ; $x+y+3=xy$
$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^2-1}}{y}+\frac{1}{x+y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sudden123: 24-03-2018 - 22:06

[Tea Coffee]

$P=\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}+\frac{\sqrt{y^{2}-1}}{y}+\frac{1}{x+y}=\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}+\frac{1}{x+y}$

Áp dụng BĐT $a+b\leq \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$:

$\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\leq \sqrt{2(2-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}})}=\sqrt{2(2-\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}})}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

$xy=x+y+3\geq 3\sqrt[3]{3xy}=>xy\geq 9$

$\left\{\begin{matrix}x^{2}+9\geq 6x \\ y^{2}+9\geq 6y \end{matrix}\right. =>x^{2}+y^{2}+36\geq 6(x+y+3)=6xy$

$=>x^{2}+y^{2}\geq 6xy-36=>\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{6xy-36}{x^{2}y^{2}}=\frac{6}{xy}-\frac{36}{x^{2}y^{2}}$

Ta sẽ CM:$\frac{6}{xy}-\frac{36}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{2}{9}<=>(\frac{6}{xy}-\frac{1}{2})^{2}\leq \frac{1}{36}$ ( đúng do $xy\geq 9)$

=> $\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq \frac{2}{9}=>\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{y^{2}}}\leq \frac{4\sqrt{2}}{3}$

Dễ dàng CM được $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{6}=>P\leq \frac{1}{6}+\frac{4\sqrt{2}}{3}<=>x=y=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 25-03-2018 - 08:28