Chủ đề này có 2 trả lời

[DOTOANNANG]

[attachment=33692:CodeCogsEqn (10).gif]

[DOTOANNANG]

Công bố lời giải:

Trước tiên ta có BĐT tổng quát:

$$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq\frac{9+6\sqrt3}{(a+b+c)^{2}}$$

Và bây giờ, ta phải tìm GTNN của $f\left( {a,b,c} \right) = \left( {\frac{1}{{\left( {a - b} \right)^2 }} + \frac{1}{{\left( {b - c} \right)^2 }} + \frac{1}{{\left( {c - a} \right)^2 }}} \right)\left( {a + b + c} \right)^2 $

Giả sử $a>b>c$ và đặt $b=t+c,a=tu+t+c,t,u>0$ thì:

$$f\left( {a,b,c} \right) = f\left( {tu + t + c,t + c,c} \right) = \frac{{\left( {u^2 + u + 1} \right)^2 \left( {3c + tu + 2t} \right)^2 }}{{u^2 t^2 \left( {u + 1} \right)^2 }}$$

$$ \ge \frac{{\left( {u^2 + u + 1} \right)^2 \left( {tu + 2t} \right)^2 }}{{u^2 t^2 \left( {u + 1} \right)^2 }} = \frac{{\left( {u^2 + u + 1} \right)^2 \left( {u + 2} \right)^2 }}{{u^2 \left( {u + 1} \right)^2 }}=g(u)$$

Ta cần chứng minh GTNN của $g(u)$ là $9+6\sqrt3$

Để đơn giản, ta tìm GTNN của $h\left( u \right) = \frac{{\left( {u^2 + u + 1} \right)\left( {u + 2} \right)}}{{u\left( {u + 1} \right)}},u > 0$

vì $\lim_{u \to 0 + } h\left( u \right) = \lim_{u \to + \infty } h\left( u \right) = + \infty$ và $h\left( u \right)$ liên tục trên $\left( {0, + \infty } \right)$ nên $v \in \left( {0, + \infty } \right)$ phải thỏa $h\left( v \right) = h\left( u \right)_{\min } $. Đặt $h(v)=y$, từ đó $v,y>0$

Vì $h'\left( u \right) = \frac{{u^4 + 2u^3 - 4u - 2}}{{u^2 \left( {u + 1} \right)^2 }}$ nên 

[attachment=33748:CodeCogsEqn (26).gif]

$(2) \Leftrightarrow v^4 + \left( {3 - y} \right)v^3 + \left( {3 - y} \right)v^2 + 2v = 0 \cdots (3)$

$(3) - (1) \Rightarrow v^3 \left( {1 - y} \right) + v^2 \left( {3 - y} \right) + 6v + 2 = 0 \cdots (4)$

$(4) - \left( {1 - y} \right) \times (2) \Rightarrow v^2 \left( {3y - y^2 } \right) + v\left( { - y^2 + 4y + 3} \right) + 2y = 0 \cdots (5)$

$ \Rightarrow v^2 \left( {y^3 - 5y^2 + 5y - 3} \right) + v\left( {y^3 - 6y^2 + 7y} \right) - 2y^2 + 6y = 0 \cdots (6)$

$ \Rightarrow v\left( {3y^3 - 13y^2 + 3y - 9} \right) + 2y^3 - 8y^2 - 6y = 0 \cdots (7)$

$\left( {3y^3 - 13y^2 + 3y - 9} \right) \times (5) - v\left( {3y - y^2 } \right) \times (7) \Rightarrow $

$v\left( { - y^5 + 11y^4 - 28y^3 - 27y - 27} \right) + 6y^4 - 26y^3 + 6y^2 - 18y = 0 \cdots (8)$

$\left( { - y^5 + 11y^4 - 28y^3 - 27y - 27} \right) \times (7) - \left( {3y^3 - 13y^2 + 3y - 9} \right) \times (8)$

$ \Rightarrow - 2y^2 \left( {y - 3} \right)^2 \left( {y^4 - 18y^2 - 27} \right) = 0$

$ \Rightarrow y = 3$ hoặc $y = \sqrt {9 + 6\sqrt 3 } $

Nếu $y=3$ , từ $(5)$ ta có $v=-1$, nên giá trị $y = \sqrt {9 + 6\sqrt 3 } $ và $g\left( u \right)_{\min } = 9 + 6\sqrt 3 $

Dưới đây là BĐT chặt hơn, mời mọi người tham khảo:

https://diendantoanh...ca3-b3ab-right/

[Leuleudoraemon]

vẫn thích mặc dù em chưa hiểu lắm