Chủ đề này có 1 trả lời

[Kiratran]

cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=1$

tìm min:$\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(cb+2)(2cb+1)}+\frac{c^2}{(ac+2)(2ac+1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 26-03-2018 - 19:08

[hoangkimca2k2]

cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc=1$

tìm min:$\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^2}{(cb+2)(2cb+1)}+\frac{c^2}{(ac+2)(2ac+1)}$

Ta có: $\frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)}=\frac{1}{(b+\frac{2}{a})(2b+\frac{1}{a})}$

$\geq \frac{4}{(b+\frac{2}{a}+b+\frac{1}{a})^{2}}=\frac{4}{9}(\frac{1}{b+\frac{1}{a}})^{2}$

Từ đó ta có: $VT\geq \frac{4}{9}\sum \frac{1}{(b+\frac{1}{a})^{2}}$

$\geq \frac{4}{9}\sum \frac{1}{(b+\frac{1}{a})(a+\frac{1}{c})}$$=\frac{4}{9}\sum \frac{c}{(1+c)(1+b)}$

$=\frac{4}{9}\frac{a+b+c+ab+bc+ac}{(a+b+c+ab+bc+ac+2)}$

$=\frac{4}{9}(1-\frac{2}{a+b+c+ab+bc+ac})\geq \frac{4}{9}(1-\frac{2}{2+6})=\frac{1}{3}$ $(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 30-03-2018 - 14:18