Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho các số không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{2}xyz$

[PugMath]

Cho các số không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{2}xyz$

trước hết áp dụng bđt phụ $abc\geqslant (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$

từ đó ta có $xyz\geqslant (1-2x)(1-2z)(1-2y)=1-2\sum{x}+4\sum{xy}-8xyz<=>9xyz\geqslant -1+4\sum{xy}$

từ đó $\sum{x^2}+\frac{9xyz}{2}\geqslant \frac{-1}{2}+2\sum{xy}+\sum{x^2}=(x+y+z)^2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

=> Min=$\frac{1}{2}$

[hoangkimca2k2]

Tìm max:

Ta có $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{9}{2}xyz=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+xz)+\frac{9}{2}xyz=1-\frac{4(xy+yz+xz)-9xyz}{2}$

Ta Cần Cm $4(xy+yz+xz)-9xyz\geq 0$$\Leftrightarrow 4(xy+yz+xz)(x+y+z)-9xyz\geq 0$

Khai triển cái này ra ta được một BĐT luôn đúng