Chủ đề này có 6 trả lời

[doctor lee]

cho a,b,c là các số thực dương tm a+b+c=3

cmr $\frac{a^{2}+bc}{a+bc}+\frac{b^{2}+ac}{b+ac}+\frac{c^{2}+ab}{c+ab}\geq 3$

[hoangkimca2k2]

cho a,b,c là các số thực dương tm a+b+c=3

cmr $\frac{a^{2}+bc}{a+bc}+\frac{b^{2}+ac}{b+ac}+\frac{c^{2}+ab}{c+ab}\geq 3$

Bài này hay đấy 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $\frac{a(a-1)}{a+bc}+\frac{b(b-1)}{b+ac}+\frac{c(c-1)}{c+ab}\geq 0$

không mất tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$

khi đó dễ thấy $a-1\ge b-1\ge c-1$ và $\frac{a}{a+bc}\ge \frac{b}{b+ca}\ge \frac{c}{c+ab}$

Đến đây áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có: 

$\frac{a(a-1)}{a+bc}+\frac{b(b-1)}{b+ac}+\frac{c(c-1)}{c+ab}\geq \frac{1}{3}\sum \frac{a}{a+bc}\sum (a-1)$

$= \frac{1}{3}\sum \frac{a}{a+bc}(a+b+c-3)\geq 0$ (vì $a+b+c=3$)  $(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 30-03-2018 - 16:49

[conankun]

Bạn giải cách THCS giúp mình được ko??

[hoangkimca2k2]

Bạn giải cách THCS giúp mình được ko??

Cái này bạn chỉ cần đọc về bất đẳng thức $Chebyshev thôi @@

[conankun]

Cái này bạn chỉ cần đọc về bất đẳng thức $Chebyshev thôi @@

Thế BDT Chebyshev là gì thế???Bạn nói ra đk ko?
Mình cảm ơn

[hoangkimca2k2]

Thế BDT Chebyshev là gì thế???Bạn nói ra đk ko?
Mình cảm ơn

bạn lên gg để tìm kiếm, có gì trao đổi qua tin nhắn.

[hoangkimca2k2]

Thế BDT Chebyshev là gì thế???Bạn nói ra đk ko?
Mình cảm ơn

Bất đẳng thức $Chebyshev$:

Cho hai dãy số $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ và $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$

$\bullet $ Nếu hâi dãy số đã cho đơn điệu cùng chiều ( cùng tăng hoặc cùng giảm) thì $n(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+...+a_{n}x_{n})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$

$\bullet $ Nếu hâi dãy số đã cho đơn điệu (tăng, giảm) ngược chiều thì $n(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+...+a_{n}x_{n})\leq  (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(x_{1}+x_{2}+...+x_{n})$