Cho dãy số $(x_{n})$:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & \\ x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n}+1}-\sqrt{x_{n}^{2}-x_{n}+1} & \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tính giới hạn đó
Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}.$
Lời giải 1.
Ta thấy $f(x)\le 1.$ Suy ra $x_n \le 1 \forall n\in \mathbb{N}.$
Với $x\le 1,$ ta có đánh giá $f(x) \le x.$ Hơn nữa, khi $x\ge 0$, $f(x)= \frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}\ge 0.$
Từ đó, ta suy ra dãy $\{x_n\}$ giảm và bị chặn dưới.
Lời giải 2.
$f'(x)= \frac{1}{2}\left[ g(2x+1)-g(2x-1)\right]$, trong đó $g(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}.$
Ta có $g'(t)= \frac{3}{\sqrt{(t^2+3)^3}}.$
Với $x\in [0,1],$ ta có \[0<f'(x)<\frac{1}{2} \left[g(3)-g(-1)\right]=\frac{1}{2} \left[ \frac{3}{12}+\frac{1}{2}\right]:=q<1.\]
Áp dụng định lý Lagrange, ta suy ra dãy hội tụ.