Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho dãy số $(U_{n})$:

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & \\ x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n}+1}-\sqrt{x_{n}^{2}-x_{n}+1} & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tính giới hạn đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 30-03-2018 - 12:43

[An Infinitesimal]

Cho dãy số $(x_{n})$:

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & \\ x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}+x_{n}+1}-\sqrt{x_{n}^{2}-x_{n}+1} & \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tính giới hạn đó

 

Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}.$

 

Lời giải 1.

 

Ta thấy $f(x)\le 1.$ Suy ra $x_n \le 1 \forall n\in \mathbb{N}.$

Với $x\le 1,$ ta có đánh giá $f(x) \le x.$ Hơn nữa, khi $x\ge 0$, $f(x)= \frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}\ge 0.$

Từ đó, ta suy ra dãy $\{x_n\}$ giảm và bị chặn dưới.

 

 

Lời giải 2. 

 

$f'(x)= \frac{1}{2}\left[ g(2x+1)-g(2x-1)\right]$, trong đó $g(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+3}}.$

Ta có $g'(t)= \frac{3}{\sqrt{(t^2+3)^3}}.$

 

Với $x\in [0,1],$ ta có \[0<f'(x)<\frac{1}{2} \left[g(3)-g(-1)\right]=\frac{1}{2} \left[ \frac{3}{12}+\frac{1}{2}\right]:=q<1.\]

 

Áp dụng định lý Lagrange, ta suy ra dãy hội tụ.