Chủ đề này có 12 trả lời

[taconghoang]

Hình ảnh

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taconghoang: 30-03-2018 - 13:31

[Tea Coffee]

1) a) $A=11^{3}+12^{3}+13^{3}+...+1945^{3}$

$B=11+12+13+...+1945$

Với $a\epsilon \mathbb{Z}=>a^{3}-a=a(a-1)(a+1)\vdots 6=>A-B=(11^{3}-11)+(12^{3}-12)+...+(1945^{3}-1945)\vdots 6$

Mà $B\vdots 6=>A\vdots 6$

b) $\left\{\begin{matrix}a+7=x^{2} \\ a-82=y^{2} \end{matrix}\right. (x,y\epsilon \mathbb{N}) =>(x^{2}-y^{2})=89<=>(x-y)(x+y)=89...$

3)a) $2x^{2}-3x\sqrt{x+3}+(x+3)=0<=>(2x-\sqrt{x+3})(x-\sqrt{x+3})=0...$

b) $\left\{\begin{matrix}(x-y)(1+\frac{1}{xy})=0 \\ x^{3}=2y-1 \end{matrix}\right.$

+)T/H1: $\left\{\begin{matrix}x=y \\ x^{3}-2x+1=0... \end{matrix}\right.$

+)T/H2: $\left\{\begin{matrix}y=\frac{-1}{x} \\ x^{4}+x+2=0<=>(x^{4}-x^{2}+1)+(x^{2}+x+1)=0 \end{matrix}\right.$ vô lý 

[doraemon123]

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH                                                            KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM 2017-2018

  QUẢNG NGÃI                                                                                    Khóa ngày: 30/3/2018

 

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

Câu 1:

a) Chứng minh rằng 11³ +12³ +...........+1945³ $\vdots 6$

b) Tìm số tự nhiên a biết rằng a+7 và a-82 đều là các số chính phương

c)Tính số học sinh của một trường THCS. Biết số HS trường đó khoảng 700 đến 750 HS và khi xếp hàng 20 thì thừa 9, khi xếp hàng 15 thì thiếu 6.

Câu 2:

1.  Cho biểu thức C=$\frac{x\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}-\frac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+1}$ với $x\geq 0;x\neq 9$

a) Rút gọn C

b) Tìm x để C đạt GTNN

2. Chứng minh rằng với mọi $n\epsilon N^*$ THÌ

D=$\frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+...+\frac{n}{1+n^2+n^4}< 1$

Câu 3:

1. Giải phương trình: $2x^2+x+3=3x\sqrt{x+3}$

2. Giải HPT:  $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x} &=y-\frac{1}{y} & \\ x^3 &=2y-1 & \end{matrix}\right.$

Câu 4:

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ AD cắt cung BC tại M.

a) Chứng minh tam giác BHM cân

b) Chứng minh: $AE.CD.BF=AF.BD.CE=DE.EF.FD$

c) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác HAB theo R

d)Tìm điều kiện của tam giác ABC để biểu thức $\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}$ đạt min. Tìm GTNN đó

Câu 5: a) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng

$\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}$

B) Cho tam giác ABC cân tại C, canh AB=$\sqrt{3}$, đường cao CH=$\sqrt{2}$. Gọi M là trung điểm của HB, N là trung điểm của BC, AN và CM cắt nhau tại K. Chứng minh KH là phân giác của tam giác AKM

[taconghoang]

Cho em xin sửa lại bài 2.1 là $C=\dfrac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+1}$ với $x\geq 0,x\neq 9$.

[doraemon123]

Cho em xin sửa lại bài 2.1 là $C=\dfrac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}-\dfrac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+1}$ với $x\geq 0,x\neq 9$.

Cái đề là ảnh sao lại sai v bạn nhỉ

[12345678987654321123456789]

Câu 1:

c)Tính số học sinh của một trường THCS. Biết số HS trường đó khoảng 700 đến 750 HS và khi xếp hàng 20 thì thừa 9, khi xếp hàng 15 thì thiếu 6.

$$700<20x+9<750\Leftrightarrow 35\leq x\leq 37$$

Để $(20x+9)+6=20x+15$ chia hết cho $15$ thì $x=36$

 

Câu 2:

2. Chứng minh rằng với mọi $n\epsilon N^*$ THÌ

D=$\frac{1}{1+1^2+1^4}+\frac{2}{1+2^2+2^4}+...+\frac{n}{1+n^2+n^4}< 1$

Vì $n\in N^*$ nên $n^4-n^3+1>0\Leftrightarrow n^4+n^2+1>n^3+n^2=n^2(n+1)\implies \frac{n}{n^4+n^2+1}<\frac1{n(n+1)}=\frac1{n}-\frac1{n+1}$

Thay vào

$$D<1-\frac12+\frac12-\frac13+...+\frac1{n}-\frac1{n+1}=1-\frac1{n+1}<1$$

[12345678987654321123456789]

Câu 5: a) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D,E lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng

$\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}$

$$AH^2=HB.HC\Leftrightarrow AH^4=HB^2\cdot HC^2=BD\cdot AB\cdot CE\cdot AC=BD\cdot CE\cdot AH\cdot BC\Leftrightarrow BD\cdot CE=\frac{AH^3}{BC}$$

$$\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}\Leftrightarrow BC^2=BD^2+CE^2+3\sqrt[3]{BD^2\cdot CE^2\cdot BC^2}=F$$

Ta có

$$3\sqrt[3]{BD^2\cdot CE^2\cdot BC^2}=3\sqrt[3]{\frac{AH^6}{BC^2}\cdot BC^2}=3AH^2$$

và

$$BD^2+CE^2=BH^2-DH^2+CH^2-EH^2=(BH+CH)^2-2BH\cdot CH-DE^2$$

$$=BC^2-2AH^2-AH^2=BC^2-3AH^2$$

nên

$$F=BC^2-3AH^2+3AH^2=BC^2$$

Do đó có đpcm

 

*** Cannot compile formula:


\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1.}
\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
\clip(-2.86,0.78) rectangle (4.5,4.44);
\draw[line width=2.pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (-0.9877299658684096,3.5900699237959834) -- (-0.617799889664393,3.382339957927574) -- (-0.4100699237959836,3.7522700341315907) -- (-0.78,3.96) -- cycle; 
\draw [line width=2.pt] (-0.78,3.96)-- (-2.24,1.36);
\draw [line width=2.pt] (-2.24,1.36)-- (3.8557640919519542,1.3568401637500553);
\draw [line width=2.pt] (3.8557640919519542,1.3568401637500553)-- (-0.78,3.96);
\draw [line width=2.pt] (-0.78,3.96)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\draw [line width=2.pt] (-1.8906374461554312,1.982152493147863)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\draw [line width=2.pt] (0.3292893028666329,3.337091391467198)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);
\begin{scriptsize}
\draw [fill=ududff] (-0.78,3.96) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-0.64,4.33) node {$A$};
\draw [fill=ududff] (-2.24,1.36) circle (2.5pt);
\draw[color=ududff] (-2.56,1.43) node {$B$};
\draw [fill=xdxdff] (3.8557640919519542,1.3568401637500553) circle (2.5pt);
\draw[color=xdxdff] (4.,1.73) node {$C$};
\draw [fill=uuuuuu] (-0.7813481432887976,1.359243884615061) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (-0.8,1.09) node {$H$};
\draw [fill=uuuuuu] (-1.8906374461554312,1.982152493147863) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (-2.16,2.19) node {$D$};
\draw [fill=uuuuuu] (0.3292893028666329,3.337091391467198) circle (2.0pt);
\draw[color=uuuuuu] (0.62,3.59) node {$E$};
\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}


*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

[taconghoang]

Cái đề là ảnh sao lại sai v bạn nhỉ

em gõ lại bằng latex xong Print Screen SysRq ạ

[taconghoang]

$$AH^2=HB.HC\Leftrightarrow AH^4=HB^2\cdot HC^2=BD\cdot AB\cdot CE\cdot AC=BD\cdot CE\cdot AH\cdot BC\Leftrightarrow BD\cdot CE=\frac{AH^3}{BC}$$

$$\sqrt[3]{BC^2}=\sqrt[3]{BD^2}+\sqrt[3]{CE^2}\Leftrightarrow BC^2=BD^2+CE^2+3\sqrt[3]{BD^2\cdot CE^2\cdot BC^2}=F$$

Ta có

$$3\sqrt[3]{BD^2\cdot CE^2\cdot BC^2}=3\sqrt[3]{\frac{AH^6}{BC^2}\cdot BC^2}=3AH^2$$

và

$$BD^2+CE^2=BH^2-DH^2+CH^2-EH^2=(BH+CH)^2-2BH\cdot CH-DE^2$$

$$=BC^2-2AH^2-AH^2=BC^2-3AH^2$$

nên

$$F=BC^2-3AH^2+3AH^2=BC^2$$

Do đó có đpcm

 

*** Cannot compile formula:
\definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}\definecolor{xdxdff}{rgb}{0.49019607843137253,0.49019607843137253,1.}\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}\definecolor{ududff}{rgb}{0.30196078431372547,0.30196078431372547,1.}\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]\clip(-2.86,0.78) rectangle (4.5,4.44);\draw[line width=2.pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (-0.9877299658684096,3.5900699237959834) -- (-0.617799889664393,3.382339957927574) -- (-0.4100699237959836,3.7522700341315907) -- (-0.78,3.96) -- cycle; \draw [line width=2.pt] (-0.78,3.96)-- (-2.24,1.36);\draw [line width=2.pt] (-2.24,1.36)-- (3.8557640919519542,1.3568401637500553);\draw [line width=2.pt] (3.8557640919519542,1.3568401637500553)-- (-0.78,3.96);\draw [line width=2.pt] (-0.78,3.96)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);\draw [line width=2.pt] (-1.8906374461554312,1.982152493147863)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);\draw [line width=2.pt] (0.3292893028666329,3.337091391467198)-- (-0.7813481432887976,1.359243884615061);\begin{scriptsize}\draw [fill=ududff] (-0.78,3.96) circle (2.5pt);\draw[color=ududff] (-0.64,4.33) node {$A$};\draw [fill=ududff] (-2.24,1.36) circle (2.5pt);\draw[color=ududff] (-2.56,1.43) node {$B$};\draw [fill=xdxdff] (3.8557640919519542,1.3568401637500553) circle (2.5pt);\draw[color=xdxdff] (4.,1.73) node {$C$};\draw [fill=uuuuuu] (-0.7813481432887976,1.359243884615061) circle (2.0pt);\draw[color=uuuuuu] (-0.8,1.09) node {$H$};\draw [fill=uuuuuu] (-1.8906374461554312,1.982152493147863) circle (2.0pt);\draw[color=uuuuuu] (-2.16,2.19) node {$D$};\draw [fill=uuuuuu] (0.3292893028666329,3.337091391467198) circle (2.0pt);\draw[color=uuuuuu] (0.62,3.59) node {$E$};\end{scriptsize}\end{tikzpicture}

*** Error message:
Error: Nothing to show, formula is empty

Cách khác : 

Ta có : $\sqrt[3]{BD^2}= \sqrt[3]{BH^2.cos^2ABH}=\sqrt[3]{AB^2.cos^4ABH}=\sqrt[3]{BC^2.cos^6ABC}=\sqrt[3]{BC^2}.cos^2ABC$.
 Tương tự ta có : $\sqrt[3]{CE^2}=\sqrt[3]{BC^2}.cos^2ACB$. 
 Suy ra : $ \sqrt[3]{BD^2} + \sqrt[3]{CE^2}=\sqrt[3]{BC^2}(cos^2ABC+cos^2ACB)=\sqrt[3]{BC^2}$.

[conankun]

Câu 1: Ta có: $n^3-n$ luôn chia hết cho 6  (dễ dàng chứng minh)

mà $11+12+....+1945$ chia hết cho 6 

Suy ra $11^3+12^3+....+1945^3$ chia hết cho 6(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 11-04-2018 - 14:43

[conankun]

Câu 1.b:

Ta có : $\left\{\begin{matrix} a+7=k^2 (k,q\in Z)\\a-82=q^2 \end{matrix}\right.$ 

suy ra: $k^2-q^2=89\Rightarrow (k-q)(k+q)=89$

Đến đây lập bảng xét ước số là OK!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 11-04-2018 - 14:47

[conankun]

Câu 1c:

Gọi số học sinh là $A$. Ta có: $A-9$ chia hết cho 20 và 15

Mà $A-9\in {(691,...,741)}\Rightarrow A-9=720\Rightarrow A=729$

Vậy số học sinh là 729.

[Minhcamgia]

a) Có $\angle HBC = \angle EBC = \angle HAC = \angle MAC = \angle MBC \Rightarrow \Delta HBM$ cân tại H.

b) Theo định lý ce - va : $\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{DC}.\frac{EC}{EA} = 1 \Leftrightarrow AF.BD.CE=BF.CD.EA$

Lại có $\Delta AEF \sim \Delta ABC(g.g);\Delta BDF \sim \Delta BAC(g.g);\Delta CDE \sim \Delta CAB(g.g) \Rightarrow \frac{EF}{AE}.\frac{ED}{CD}.\frac{DF}{BF} = \frac{BC}{AB}.\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{BC} = 1 \Rightarrow EF.FD.DE = AE.CD.BF = AF.BD.CE$

c) Ta có $\frac{AD}{HD} = \frac{AH}{DH}+1;\frac{BE}{HE} = \frac{BH}{HE}+1;\frac{CF}{HF} = \frac{CH}{HF}+1$

$\Rightarrow \frac{AD}{DH} + \frac{BE}{HE}+ \frac{CF}{HF} = 3+ \frac{AH}{HD} + \frac{BH}{HE} + \frac{CH}{HF}$

$\frac{AH}{HD} = \frac{S_{ABH}}{S_{DBH}} = \frac{S_{ACH}}{S_{CDH}} = \frac{S_{ABH} + S_{ACH}}{S_{BCH}}$.

Tương tự $\frac{BH}{HE} = \frac{S_{ABH} + S_{BHC}}{S_{AHC}};\frac{CH}{HF} = \frac{S_{ACH} + \S_{BCH}}{S_{AHB}} \Rightarrow \frac{AH}{DH} + \frac{BH}{HD} + \frac{CH}{HF} = \frac{S_{ABH} + S_{ACH}}{S_{BCH}} + \frac{S_{ABH} + S_{BCH}}{S_{ACH}} + \frac{S_{ACH} + S_{CBH}}{S_{ABH}} \geq \frac{3}{2}$ (theo Nestbit).

Suy ra  $\frac{AH}{DH} + \frac{BH}{HD} + \frac{CH}{HF} \geq 3+ \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi tam giác là tam giác đều.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhcamgia: 17-04-2018 - 21:30