Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c>0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{(ab+bc+ac)^{2}+6(a+b+c)}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 31-03-2018 - 14:00

[conankun]

Ta có: $ab + bc+ca\leq a^2+b^2+c^2=3$

           $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{(ab+bc+ac)^{2}+6(a+b+c)}{27}$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}} + \frac{3^2+6.3}{27}$$\geq 3+1=4$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

[hoangkimca2k2]

Ta có: $ab + bc+ca\leq a^2+b^2+c^2=3$

           $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{(ab+bc+ac)^{2}+6(a+b+c)}{27}$

$\geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}} + \frac{3^2+6.3}{27}$$\geq 3+1=4$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Bị ngược dấu rồi bạn. tìm giá trị nhỏ nhất thì trên tử phải $\geq $ chứ

còn bạn đánh giá trên tử $\leq $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 31-03-2018 - 14:37

[tr2512]

Cho $a,b,c>0$; $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{(ab+bc+ac)^{2}+6(a+b+c)}{27}$

Ta có bổ đề quen thuộc: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{9\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\\$

Áp dụng bổ đề vào bài toán và viết lại bất đẳng thức thành:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2} + 6\left( {a + b + c} \right)}}{{27}} \ge \frac{{27}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left[ {\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{2} - \frac{3}{2}} \right]}^2} + 6\left( {a + b + c} \right)}}{{27}}$

Đặt $t=a+b+c$ ( $0<t \le 3$ )

Ta sẽ đi chứng minh:$\frac{{27}}{{{t^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{t^2}{2} - \frac{3}{2}} \right)}^2} + 6t}}{{27}} \ge 4$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {3 - t} \right)\left( {972 + 324t - 33{t^2} - 3{t^3} - 3{t^4} - {t^5}} \right)}}{{108{t^2}}} \ge 0$

Mà bất đẳng thức cuối luôn đúng theo điều kiện của t.

Hoàn tất chứng minh.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 4 khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 05-04-2018 - 15:07