Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangkimca2k2]

Từ các chữ số $1,2,3$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2017 chữ số sao cho mỗi chữ số $1,2,3$ xuất hiện đúng lẻ lần.

[Puisunjouronestledumonde]

Từ các chữ số $1,2,3$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2017 chữ số sao cho mỗi chữ số $1,2,3$ xuất hiện đúng lẻ lần.

Hàm sinh của số cách sắp xếp môi số $1, 2, 3$:
$A\left ( x \right)=\frac{x}{1!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

( Khai triển chuỗi Maclaurin của $e^{x}$ và $e^{-x}$, rồi thực hiện $e^{x}-e^{-x}$ thì các số hạng có số mũ chẵn triệt tiêu nhau).
Hàm sinh của số cách lập các số thỏa yêu cầu:
$F\left ( x \right )=\left ( \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \right )^{3}=\frac{1}{8}\left ( e^{3x}-3e^{x}+3e^{-x}-e^{-3x} \right )$

$=\frac{1}{8}\sum_{n}^{\infty }\left ( 3^{n}-3+\left ( -1 \right )^{n}.3-\left ( -1 \right )^{n}.3^{n} \right )\frac{x^{n}}{n!}$

$=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{3\left ( 3^{n-1}-1 \right )\left ( 1-\left ( -1 \right )^{n} \right )}{8}.\frac{x^{n}}{n!}$

Với $n$ lẻ thì hệ số của $.\frac{x^{n}}{n!}$ là $\frac{3}{4}\left ( 3^{n-1}-1 \right )$

Vậy số cách lập các số thỏa yêu cầu đề bài là $\frac{3}{4}\left ( 3^{2016}-1 \right )$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Puisunjouronestledumonde: 08-06-2018 - 10:39