Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

VN TST 2018

tst hình học đại số tổ hợp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 CF Gauss

CF Gauss

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-03-2018 - 15:02

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2018

 

Ngày thi thứ nhất (30/3/2018)

Thời gian làm bài là $4\tfrac{1}{2}$ giờ

 

Bài toán 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB.$ Gọi $(O),({O}')$ lần lượt là tâm ngoại tiếp và tâm Euler của tam giác. Xét điểm $P$ bên trong tam giác $DEF$ và $DP,EP,FP$ cắt lại $({O}')$ lần lượt tại ${D}',{E}',{F}'$. Gọi ${A}'$ là điểm đối xứng với $A$ qua ${D}'.$ Xác định tương tự với ${B}',{C}'.$ 
 
a) Nếu $PO=P{O}'$, chứng minh rằng $({A}'{B}'{C}')$ đi qua $O.$ 
b) Lấy $X$ đối xứng với ${A}'$ qua đường thẳng $OD.$ Xác định tương tự với $Y,Z.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $XH,YH,ZH$ cắt $BC,CA,AB$ theo thứ tự tại $M,N,K.$ Chứng minh rằng $M,N,K$ thẳng hàng.
 
Bài toán 2.
 
Với $m$ là số nguyên dương, xét bảng ô vuông $m\times 2018$ gồm $m$ hàng, $2018$ cột mà trong đó có một vài ô trống, còn một vài ô được đánh số $0$ hoặc $1.$ Bảng được gọi là “đầy đủ” nếu với bất kỳ chuỗi nhị phân $S$ có $2018$ ký tự nào, ta đều có thể chọn ra một hàng nào đó của bảng rồi điền thêm $0,1$ vào đó để $2018$ ký tự của hàng tạo thành chuỗi $S$ (nếu chuỗi $S$ đã có sẵn trên hàng nào đó rồi thì coi như thỏa mãn). Bảng được gọi là “tối giản” nếu nó đầy đủ và nếu ta bỏ đi bất kỳ hàng nào thì nó không còn đầy đủ nữa.
 
a) Cho $k\le 2018,$ chứng minh rằng tồn tại bảng tối giản ${{2}^{k}}\times 2018$ sao cho có đúng $k$ cột có đủ cả $0$ lẫn $1.$ 
b) Cho bảng tối giản $m\times 2018$ có đúng $k$ cột có chứa $0,1$, các cột còn lại đều trống. Chứng minh rằng $m\le {{2}^{k}}.$ 
 
Bài toán 3. Cho số nguyên dương $n\ge 3$ và ${{A}_{n}}$ là tập hợp tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn $n,$ nguyên tố cùng nhau với $n.$ Xét đa thức $${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k\in {{A}_{n}}}{{{x}^{k-1}}}.$$
a) Chứng minh rằng ${{P}_{n}}(x)=({{x}^{{{r}_{n}}}}+1)Q_n(x)$ với ${{r}_{n}}$ là số nguyên dương nào đó, còn $Q_n(x)$ là một đa thức hệ số nguyên (không nhất thiết khác hằng).
b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để đa thức ${{P}_{n}}(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}.$
 
 
Hết ngày thi thứ nhất
 
---------------------------------------------------------------------------------------
 
Ngày thi thứ hai (31/3/2018)
Thời gian làm bài là $4\tfrac{1}{2}$ giờ
 

 
Bài toán 4. Cho $a$ là số thực thuộc đoạn $\left[ \frac{1}{2};\frac{2}{3} \right].$Các dãy số $({{u}_{n}})$ và $({{v}_{n}})$ xác định như sau:
$${{u}_{n}}=\frac{3}{{{2}^{n+1}}}\cdot {{(-1)}^{[{{2}^{n+1}}a]}} \text{ và } {{v}_{n}}=\frac{3}{{{2}^{n+1}}}\cdot {{(-1)}^{n+[{{2}^{n+1}}a]}}.$$
 
a) Chứng minh rằng 
$${{({{u}_{0}}+{{u}_{1}}+\cdots +{{u}_{2018}})}^{2}}+{{({{v}_{0}}+{{v}_{1}}+\cdots +{{v}_{2018}})}^{2}}\le 72{{a}^{2}}-48a+10+\frac{2}{{{4}^{2019}}}.$$
b) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để đẳng thức xảy ra.
 
Bài toán 5.
Một bảng ô vuông $m\times n$ $ABCD$ có các đỉnh là các giao lộ (có tất cả $(m+1)\times (n+1)$ giao lộ). Người ta muốn thiết lập một tuyến đường bắt đầu từ $A,$ đi theo các cạnh song song với các cạnh của hình chữ nhật và đi qua tất cả các giao lộ đúng một lần, sau đó quay về $A.$ 
a) Chứng minh rằng có thể xây dựng được đường đi khi và chỉ khi $m$ lẻ hoặc $n$ lẻ.
b) Với $m,n$ thỏa mãn điều kiện câu a, hỏi có ít nhất bao nhiêu giao lộ mà tại đó có ngã rẽ?
 
Bài toán 6.
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ và $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(J)$ trên $BC,CA,AB.$ 
a) Gọi $L$ là trung điểm $BC$. Đường tròn đường kính $LJ$ cắt $DE,DF$ tại $K,H.$ Chứng minh rằng $(BDK)$ và $(CDH)$ cắt nhau trên $(J).$ 
b) Giả sử $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $GJ$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N.$ Gọi $P,Q$ là các điểm trên $JB,JC$ sao cho $\angle PAB=\angle QAC=90{}^\circ .$ Gọi $T$ là giao điểm của $PM,QN$ và $S$ là điểm chính giữa cung lớn $BC$ của $(O).$ Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng $SI$ cắt $AT$ tại một điểm thuộc $(O).$
 
 
Hết ngày thi thứ hai
 
 
(nguồn: Thầy Lê Phúc Lữ và diễn đàn toán Mathscope)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CF Gauss: 31-03-2018 - 17:15


#2 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 01-04-2018 - 23:30

Bài 2

a, Xét bảng 2 x k mỗi hàng chứa một xâu nhị phân có độ dài bằng k khác nhau sau đó bổ sung vào bảng 2018-k cột mà không có ô nào được đánh số

Khi đó ta sẽ có đc bảng tm bài

có ngắn quá không nhỉ ??


Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#3 YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Nothing

Đã gửi 02-04-2018 - 22:46

Bài 5a

 Giả sử m chẵn và n chẵn => m+1 và n+1 lẻ

ta tô màu giao lộ A(1;1) có màu trắng

Tô màu tất cả (m+1)(n+1) giao lộ theo quy tắc

Giao lộ (a;b) tô màu trắng nếu a và b cùng tính chẵn lẻ

                 tô màu đen nếu a và b khác tính chẵn lẻ

Xuất phát từ điểm A đi theo các cạnh song song với các cạnh của HCN  => đi qua giao lộ trắng rồi sẽ qua giao lộ đen rồi qua giao lộ trắng v..v

mà người đó đi qua giao qua tất cả (m+1)(n+1)+1 giao lộ ( vì tính A đi và A về 2 lần)

khi đó (m+1)(n+1)+1 chắn mà xuất phát từ giao lộ trắng qua chẵn giao lộ thì cập bến phải ở giao lộ đen ( mà A trắng )=> vô lý

m lẻ hoặc n lẻ thì chỉ cần chỉ ra cách đi thỏa mãn là đc


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 02-04-2018 - 22:47

Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:


#4 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-04-2018 - 01:06

Bài 2:

Câu b đã là gợi ý cho câu a. Một bảng gồm $2^k$ xâu nhị phân độ dài là $k$ và phần còn lại chừa trống thỏa mãn điều kiện là bảng tối giản.

câu b ta sẽ chứng minh nếu $m>2^k$ thì ta sẽ xóa được một dòng sao cho bảng vẫn còn là tối giản. Điều này có nghĩa là chứng minh rằng tất cả chuỗi nhị phân sinh ra từ dòng bị xóa sẽ thu được bằng cách thêm vào $0,1$ ở các dòng khác. Ta chỉ quan tâm tới cách sinh ra các chuỗi nhị phân với $k$ cột chứ $0,1$. Bây giờ xét tập A gồm $2^k$ chuỗi nhị phân có độ dài $k$. Mỗi một bước ta chọn một dòng của bảng (chỉ $k$ cột chứa 0,1), và xóa đi tất cả những chuỗi nhị phân trong A có thể sinh ra được bằng cách thêm $0,1$ vào các ô còn trống của dòng này. Với một dòng mà ta không xóa được trong A bất kì một chuỗi nào thì có nghĩa tất cả các chuỗi nhị phân sinh ra từ dòng đó có thể được sinh ra bởi các dòng khác, tức là xóa đi dòng đó bảng vẫn tối giản. A chỉ có $2^k$ phần tử mà ta có $m>2^k$ dòng thì dĩ nhiên sẽ chọn được một dòng chẳng xóa đi phần tử nào trong tập A được.

Bài 3:

Ta có một nhận xét là $(k,n)=1$ thì $(n-k,n)=1$, tức là ta có thể chia tập $A_n$ thành 2 tập $B_n$ và $C_n$, sao cho tập $B_n$ chứa tất cả các phần tử của $A_n$ mà bé hơn $\frac{n}{2}$, $C_n$ chứa các phần tử còn lại. Khi đó ta có $ k \in B_n \Rightarrow n-k \in C_n$.

Đặt $c_n$ là phần tử nhỏ nhất của $C_n$ thì $c_n> \frac{n}{2}>1$, chú ý là $B_n$ luôn chứa $1$ và $C_n$ luôn chứa $n-1$. Mình quên latex nhiêu rồi nên lười viết ra nhưng có thể dễ dàng suy ra là $P_n(x)=(1+x^{c_n-1}).Q_n(x)$. Vậy luôn tồn tại $r_n \ge 1$ thỏa mãn.

ý b thì để $P_n(x)$ bất khả quy thì $Q_n(x)=1$, điều này có nghĩa là $A_n$ có đúng 2 phần tử suy ra $P_n(x)=1+x^{n-2}$ và để nó bất khả quy trên Z thì phải tồn tại $m$ để $n-2 = 2^m$, đến đây thì ta cần tìm $n$ dạng $2^m+2$ mà $(n,k)>1$ với mọi $1<k<n-1$, nếu $m>2$ thì suy ra $(3,n)>1$ suy ra $3 | 2(2^{m-1}+1)$ suy ra $m$ chẵn. Mà $(5,n)>1$ nên cũng suy ra $5 | 2(2^{m-1}+1)$  suy ra $m$ lẻ. Mâu thuẫn!

Vậy $m \le 2$, tìm được $3$,$4$ và $6$ thỏa đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 03-04-2018 - 01:09


#5 the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nothingness
  • Sở thích:unknown

Đã gửi 03-04-2018 - 23:18

Bài 2:

Câu b đã là gợi ý cho câu a. Một bảng gồm $2^k$ xâu nhị phân độ dài là $k$ và phần còn lại chừa trống thỏa mãn điều kiện là bảng tối giản.

câu b ta sẽ chứng minh nếu $m>2^k$ thì ta sẽ xóa được một dòng sao cho bảng vẫn còn là tối giản. Điều này có nghĩa là chứng minh rằng tất cả chuỗi nhị phân sinh ra từ dòng bị xóa sẽ thu được bằng cách thêm vào $0,1$ ở các dòng khác. Ta chỉ quan tâm tới cách sinh ra các chuỗi nhị phân với $k$ cột chứ $0,1$. Bây giờ xét tập A gồm $2^k$ chuỗi nhị phân có độ dài $k$. Mỗi một bước ta chọn một dòng của bảng (chỉ $k$ cột chứa 0,1), và xóa đi tất cả những chuỗi nhị phân trong A có thể sinh ra được bằng cách thêm $0,1$ vào các ô còn trống của dòng này. Với một dòng mà ta không xóa được trong A bất kì một chuỗi nào thì có nghĩa tất cả các chuỗi nhị phân sinh ra từ dòng đó có thể được sinh ra bởi các dòng khác, tức là xóa đi dòng đó bảng vẫn tối giản. A chỉ có $2^k$ phần tử mà ta có $m>2^k$ dòng thì dĩ nhiên sẽ chọn được một dòng chẳng xóa đi phần tử nào trong tập A được.

 

Thực ra lúc mình thi thì mình nhớ rằng ý b) không có điều kiện "tất cả các cột còn lại đều trống". Thực ra điều kiện chỉ cần có đúng $k$ cột có chứa hai số $0,1$ là đủ rồi. Lời giải của bạn vẫn đúng về ý tưởng nhưng có một xíu cải tiến như sau. Vẫn xét hàng mà chúng ta có thể xóa được trong lập luận của bạn, nếu nó không có phần tử nào ở các cột còn lại thì có thể xóa nó đi. Nhưng nếu nó có, và giả sử là số $0$ chẳng hạn ở một cột nào đó ngoài $k$ cột này thì ta vẫn có thể chứng minh mọi dãy nhị phân sinh ra từ hàng này thì có thể sinh ra từ một hàng khác bởi nếu không ta có thể lập luận và tạo thêm một cột nữa có chứa cả hai số $0,1$ và ta có điều vô lý.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#6 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-04-2018 - 03:15

Thực ra lúc mình thi thì mình nhớ rằng ý b) không có điều kiện "tất cả các cột còn lại đều trống". Thực ra điều kiện chỉ cần có đúng $k$ cột có chứa hai số $0,1$ là đủ rồi. Lời giải của bạn vẫn đúng về ý tưởng nhưng có một xíu cải tiến như sau. Vẫn xét hàng mà chúng ta có thể xóa được trong lập luận của bạn, nếu nó không có phần tử nào ở các cột còn lại thì có thể xóa nó đi. Nhưng nếu nó có, và giả sử là số $0$ chẳng hạn ở một cột nào đó ngoài $k$ cột này thì ta vẫn có thể chứng minh mọi dãy nhị phân sinh ra từ hàng này thì có thể sinh ra từ một hàng khác bởi nếu không ta có thể lập luận và tạo thêm một cột nữa có chứa cả hai số $0,1$ và ta có điều vô lý.

Giả sử chọn $k = 2016$, và có $2^{2016}+1$ dòng, trong số các dòng này chứa tất cả các chuỗi nhị phân độ dài $k$ và có đúng 2 chuỗi giống nhau, xét hai chuỗi giống nhau ở cột thứ $2017$, một chuỗi chứa 0 một chuỗi để trống, ở cột thứ $2018$ thì chuỗi để trống ở cột $2017$ chứa 0 còn chuỗi còn lại thì để trống. Khi đó thì không thể xóa đi dòng nào được đâu bạn ạ.

 

Bài 5 ý b mình không tìm được một cách lập luận nào chặt chẽ và hợp lí cả cho trường hợp mà một số chẵn và một số lẻ và số lẻ lớn hơn số chẵn. Bạn có ý tưởng gì không?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 04-04-2018 - 03:31


#7 the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nothingness
  • Sở thích:unknown

Đã gửi 05-04-2018 - 15:56

Giả sử chọn $k = 2016$, và có $2^{2016}+1$ dòng, trong số các dòng này chứa tất cả các chuỗi nhị phân độ dài $k$ và có đúng 2 chuỗi giống nhau, xét hai chuỗi giống nhau ở cột thứ $2017$, một chuỗi chứa 0 một chuỗi để trống, ở cột thứ $2018$ thì chuỗi để trống ở cột $2017$ chứa 0 còn chuỗi còn lại thì để trống. Khi đó thì không thể xóa đi dòng nào được đâu bạn ạ.

 

Bảng này không phải bảng đầy đủ nhé bạn, lấy dãy nhị phân giống 2016 cột đầu của hai hàng này và đằng sau cho hai số 1,1 là thấy rõ.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#8 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-04-2018 - 02:13

Bảng này không phải bảng đầy đủ nhé bạn, lấy dãy nhị phân giống 2016 cột đầu của hai hàng này và đằng sau cho hai số 1,1 là thấy rõ.

À xin lỗi mình không chú ý đến điều kiện là đầy đủ. Nếu như vậy thì chỉ cần thêm một chút lập luận là xét một chuỗi $A$ bất kì sinh ra từ cái dòng ta muốn xóa. Nếu dòng này có một số $a$ nào đó là $0$ hoặc $1$ nằm ngoài $k$ cột đã nêu thì xét một chuỗi giống y chuỗi $A$ chỉ là thay cái cột chứa $a$ bằng $1-a$ (tức là đảo $0$ với $1$ và $1$ với $0$ thôi) thì bảng đầy đủ nên tồn tại một hàng sinh ra được chuỗi mới này và dĩ nhiên ở cái cột đó thì hàng đó không chứa gì cả, vì cột này chứa $a$ thì không chứa $1-a$. Do đó hàng này sẽ sinh ra được chuỗi $A$.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tst, hình học, đại số, tổ hợp

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh