Chủ đề này có 3 trả lời

[Phuongthaonguyen]

Cho x,y,z $\geq$0, x+y+z=3. CMR: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz\geq 7$

[12345678987654321123456789]

Có ít nhất $2$ số trong $3$ số $(x-1),(y-1),(z-1)$ cùng dấu (bằng $0$ thì tính là dấu $+$), giả sử là $(y-1),(z-1)$

Ta có

$$(y-1)(z-1)\geq0\Leftrightarrow yz\geq y+z-1\Leftrightarrow xyz\geq xy+xz-x=x(y+z)-x=x(3-x)-x=-x^2+2x$$

Lại có

$$2(x^2+y^2+z^2)+xyz\geq 2x^2+(y+z)^2+xyz$$

$$\geq 2x^2+(3-x)^2+(-x^2+2x)=2x^2-4x+9=2(x-1)^2+7\geq7$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

[hoangkimca2k2]

Cho x,y,z $\geq$0, x+y+z=3. CMR: $2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+xyz\geq 7$

Ta có BĐT sau: $xyz\geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)\Leftrightarrow xyz\geq (3-2x)(3-2y)(3-2z)$

$\Leftrightarrow xyz\geq 27-18(x+y+z)+12(xy+yz+xz)-8xyz$

$\Leftrightarrow 9xyz\geq -27+12(xy+yz+xz)$ nên $xyz\geq -3+\frac{4}{3}(xy+yz+xz)$

Thay vào bất đẳng thức cần Cm ta có 

$\frac{6(x^{2}+y^{2}+z^{2}+4(xy+yz+xz))}{2}-3\geq \frac{2(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz))+4(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{2}-3\geq 7$

$(Q.E.D)$

[MoMo123]

Thực ra bài này có 1 cách khác : Áp dụng BĐT quen thuộc $ x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$

$\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+2xyz-1 \geq (x+y+z)^2-2=7$

Mặt khác $xyz \leq 1 -> xyz\geq 2xyz-1$

$\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+xyz \geq 2(x^2+y^2+z^2)+2xyz-1 \geq 7$

$ Q.E.D$