Đến nội dung

Hình ảnh

$x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$

bđt pt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

Giả sử phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực với mọi $a,b\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}\geq 8$


  N.D.P 

#2
12345678987654321123456789

12345678987654321123456789

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 187 Bài viết

$x=0$ không là nghiệm

$$x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0\Leftrightarrow x^2+ax+2+\frac{b}{x}+\frac1{x^2}=0$$

$$\Leftrightarrow x^2+\frac1{x^2}+2=-ax-\frac{b}{x}\leq\sqrt{(a^2+b^2)\left(x^2+\frac1{x^2}\right)}$$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2\geq \frac{\left(x^2+\frac1{x^2}+2\right)^2}{x^2+\frac1{x^2}}=\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+\frac4{x^2+\frac1{x^2}}+4\geq2\sqrt4+4=8$$


Even when you had two eyes, you'd see only half the picture.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt, pt

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh