Chủ đề này có 1 trả lời

[Khoa Linh]

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$ và $a^2+b^2+c^2=6$.

Chứng minh bất đẳng thức sau: $a^2b+b^2c+c^2a\leq 6$

British MO 1986

[DOTOANNANG]

$$\left [ 3\left ( a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a \right ) \right ]^{2}= \left [ a\left ( 2ab+ c^{2} \right )+ b\left ( 2bc+ a^{2} \right )+ c\left ( 2ca+ b^{2} \right ) \right ]^{2}$$

 

$$\leq  \left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\sum \left ( 2ab+ c^{2} \right )^{2}=$$

 

$${\color{Purple} = \left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\left [ 4\left ( a^{2}b^{2}+ b^{2}c^{2}+ c^{2}a^{2} \right )+ abc\left ( a+ b+ c \right )+ a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right ]=}$$

 

$${\color{Purple}= \left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )\left [ 2\left ( ab+ bc+ ca \right )+ \left ( a^{2}+ b^{2}+ c^{2} \right )^{2} \right ]= 54}$$