Chủ đề này có 35 trả lời

[Khoa Linh]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh các BĐT sau:

1. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c$
2. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}$
3. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3\sqrt[4]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$
4. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ca}$
5. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}-(a+b+c)$

p/s:Đây là một số BĐT mình sưu tầm, mọi người đóng góp thêm các BĐT dạng $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq A$ cho chủ đề thêm thú vị

[doraemon123]

1. Cộng a,b,c vào 2 vế sau đó dùng cô si từng cặp

$\frac{a^2}{b}+b\geq 2a; \frac{b^2}{c}+c\geq 2b; \frac{c^2}{a}+a\geq 2c$

cộng theo vế ta đc đpcm

p/s: mình tưởng giải nên... té ra là sưu tầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 03-04-2018 - 12:41

[Khoa Linh]

6. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{3\left ( \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \right )}$

[doraemon123]

7. Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh các BĐT

a. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}$

b. $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}}$

c.$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}+2(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c})-(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 03-04-2018 - 13:35

[doraemon123]

8.

1.$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

2.$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(ab+bc+ac)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 03-04-2018 - 13:58

[DOTOANNANG]

$$\frac{a^{2}}{b}+ \frac{b^{2}}{c}+ \frac{c^{2}}{a}\geq \sqrt[4]{\frac{a^{4}+ b^{4}}{2}}+ \sqrt[4]{\frac{b^{4}+ c^{4}}{2}}+ \sqrt[4]{\frac{c^{4}+ a^{4}}{2}}$$

[tr2512]

8.

1.$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

2.$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 3(ab+bc+ac)$

2 vế không đồng bậc ?

[DOTOANNANG]

[attachment=33754:CodeCogsEqn.gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33755:CodeCogsEqn.gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33756:CodeCogsEqn (1).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33757:CodeCogsEqn (2).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33758:CodeCogsEqn (3).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33759:CodeCogsEqn (4).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33760:CodeCogsEqn (5).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33761:CodeCogsEqn (6).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33762:CodeCogsEqn (7).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33763:CodeCogsEqn (9).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33764:CodeCogsEqn (10).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33765:CodeCogsEqn (11).gif]

[DOTOANNANG]

[attachment=33766:CodeCogsEqn (12).gif]