$$\frac{(a-b)(b-c)}{ac}+\frac{(b-c)(c-a)}{ba}+\frac{(c-a)(a-b)}{cb} \le 0$$
(SCHUR)
$$\frac{(a-b)(b-c)}{ac}+\frac{(b-c)(c-a)}{ba}+\frac{(c-a)(a-b)}{cb} \le 0$$
(SCHUR)
$$a\,b\,c\,\geq \, (\,a\,+\, b\,- \,c\,)\,(\,b\,+ \,c\,-\, a\,)\,(\,c\,+\, a\,-\, b\,)$$
$<\,=\,>$
$$a\,(\,a\,- \,b\,)\,(\,a\,-\, c\,)\,+\, b\,(\,b\,- \,c\,)\,(\,b\,- \,a\,)\,+ \,c\,(\,c\,-\, a\,)\,(\,c\,-\, b\,)\, \geq \, 0$$
$$\frac{a}{b}\,+\,\frac{b}{c}\,+\,\frac{c}{a}\,-\,\frac{3}{2}\,-\,\frac{a}{b+c}\,-\,\frac{b}{c+a}\,-\,\frac{c}{a+b}\,\geq \,\frac{(\,a-b\,)\,(\,b-c\,)}{ac}$$
$$\sum \, \,\frac{a}{b\,+\,c}\,\geq\, \frac{a^{\,3}\,+\,b^{\,3}\,+\,c^{\,3}\,-\, 3\,abc}{2\,(\,a+b\,)\,(\,b+c\,)\,(\,c+a\,)}\,+\, \frac{3}{2}$$
$<\,=\,>$
$$\sum \,a\,(\,a\,-\,b\,)\,(\,a\,-\,c\,)\,\geq \,0$$
https://diendantoanh...zx-ygeq-frac32/
$$\sum\limits_{cyc} a^2\,(b+c)\,(a-b)\,(a-c) = \sum\limits_{cyc} a\,(a-b-c)^2\,(b-c)^2$$
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