KÌ THI HSG TP HÀ NỘI
năm học 2017-2018
ngày thi 04/04/2018
thời gian làm bài :150 phút
bài I :(5,0 điểm )
1. cho các số thực a,b,c tm a+b+c=2018 và $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}=\frac{2017}{2018}$
tính giá trị của biểu thức P= $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
2, tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) tm $\frac{x-y}{x^{2}+xy+y^{2}}=\frac{7}{13}$
bài II :(5,0 điểm )
1, giải phương trình $6x^{2}+2x+1=3x\sqrt{6x+3}$
2, giải hệ pt $x^{3}+x+2=y^{3}-3y^{2}+4y$
$2\sqrt{x+2}=y+2$
bài III (3,0 điểm )
1, cho p là số nguyên tố . cmr không tồn tại cặp số nguyên dương (m,n) tm $m^{2019}+n^{2019}=p^{2018}$
2, xét 3 số ko âm x,y,z tm x+y+z=3 và $x\leq y\leq z$ .tìm min
P= $\frac{x}{y^{3}+16}+\frac{y}{z^{3}+16}+\frac{z}{x^{3}+16}$
bài IV (6,0 điểm )
cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC<BC) nội tiếp đường tròn (O) . gọi H là hình chiếu của A trên BC , M là trung điểm của AC và P là điểm thay đổi trên đoạn thẳng MH ( P khác M, P khác H )
1, cm góc BAO=góc HAC
2 , khi góc APB= 90 độ , cm B,P,O thẳng hàng
3, đường tròn ngoại tiếp tam giác AMP và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP cắt nhau tại Q (Q khác P). cm đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi P thay đổi
bài V (1,0 điểm )
cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp (O) . chia 2n đỉnh này thành n cặp điểm , mỗi cặp điểm này tạo thành 1 đoạn thẳng ( hai đoạn thẳng bất ki trong số n đoạn thẳng được tạo ra ko có đầu mút chung)
1. khi n=4 ,hãy chỉ 1 cách chia sao cho trong 4 đoạn thẳng được tạo ra không có 2 đoạn thẳng nào bằng nhau
2, khi n=10 ,cm trong 10 đoạn thẳng đuọc tạo ra luôn tồn tại 2 đoạn thẳng = nhau
Edited by doctor lee, 04-04-2018 - 13:09.
Quẳng gánh lo đi và vui sống 
