Chủ đề này có 4 trả lời

[Silverbullet069]

1. Cho tam giác ABC tù.

CMR : $sin^3A < cos^2B + cos^2C$

 

2. Cho tam giác ABC.

CMR :  $2cosA + cosB + cosC \leq \frac{9}{4}$

 

3. CMR : $\frac{1}{(p - a)^2} + \frac{1}{(p - b)^2} + \frac{1}{(p - c)^2} \geq \frac{1}{r^2}$

[PugMath]

ta có $pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=>r=\frac{\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}}{\sqrt{p}}=\sqrt{\frac{xyz}{4(x+y+z)}}$

ta đặt (a+b-c;a+c-b;b+c-a)=(x;y;z)

ta cần c/m  $\sum{\frac{4}{x^2}}\geqslant \frac{4(x+y+z)}{xyz}<=>\sum{x^2y^2}\geqslant xyz(x+y+z)$

thật vậy ta có $\sum{x^2y^2}\geqslant\frac{(\sum{xy})^2}{3}\geqslant\frac{3xyz(x+y+z)}{3}=xyz(x+y+z)(Q.E.D)$

 

 

3. CMR : $\frac{1}{(p - a)^2} + \frac{1}{(p - b)^2} + \frac{1}{(p - c)^2} \geq \frac{1}{r^2}$

[tr2512]

1. Cho tam giác ABC tù.

CMR : $sin^3A < cos^2B + cos^2C$

 

2. Cho tam giác ABC.

CMR :  $2cosA + cosB + cosC \leq \frac{9}{4}$

 

3. CMR : $\frac{1}{(p - a)^2} + \frac{1}{(p - b)^2} + \frac{1}{(p - c)^2} \geq \frac{1}{r^2}$

Bài 1:

Dễ dàng chứng minh được ${\sin ^2}A + si{n^2}B + {\sin ^2}C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C$

mà do tam giác ABC tù nên $cosA.cosB.cosC<0$ 

$\Rightarrow {\sin ^2}A + 2 - {\cos ^2}B - {\cos ^2}c < 2\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A < {\cos ^2}B + {\cos ^2}C\\$

mà luôn có ${\sin ^3}A < {\sin ^2}A$

hoàn tất chứng minh

[tr2512]

1. Cho tam giác ABC tù.

CMR : $sin^3A < cos^2B + cos^2C$

 

2. Cho tam giác ABC.

CMR :  $2cosA + cosB + cosC \leq \frac{9}{4}$

 

3. CMR : $\frac{1}{(p - a)^2} + \frac{1}{(p - b)^2} + \frac{1}{(p - c)^2} \geq \frac{1}{r^2}$

Bài 2:

$2\cos A + \cos B + \cos C\\ = 2\left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{A}{2}} \right) + 2\cos \frac{{B - C}}{2}\cos \frac{{B + C}}{2}\\ = - 2\left( {2{{\sin }^2}\frac{A}{2} - \cos \frac{{B - C}}{2}\sin \frac{A}{2}} \right) + 2$

$= - 2\left[ {{{\left( {\sqrt 2 \sin \frac{A}{2}} \right)}^2} - 2\sqrt 2 \sin \frac{A}{2}\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\cos \frac{{B - C}}{2} + {{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\cos \frac{{B - C}}{2}} \right)}^2}} \right] + \frac{1}{4}{\cos ^2}\frac{{B - C}}{4} + 2\\ = - 2\left( {\sqrt 2 \sin \frac{A}{2} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\cos \frac{{B - c}}{2}} \right) + \frac{1}{4}\left( {1 - {{\sin }^2}\frac{{B - C}}{2}} \right) + 2\\$

$\le \frac{1}{4} + 2\\ = \frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 07-04-2018 - 10:13

[tr2512]

1. Cho tam giác ABC tù.

CMR : $sin^3A < cos^2B + cos^2C$

 

2. Cho tam giác ABC.

CMR :  $2cosA + cosB + cosC \leq \frac{9}{4}$

 

3. CMR : $\frac{1}{(p - a)^2} + \frac{1}{(p - b)^2} + \frac{1}{(p - c)^2} \geq \frac{1}{r^2}$Bai

Bài 3:

Ta có:

$S = p.r = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \\ \Rightarrow p{r^2} = \left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)$

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$ có:

$\frac{1}{{{{\left( {p - a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {p - b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {p - c} \right)}^2}}} \ge \frac{1}{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)}} + \frac{1}{{\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}} + \frac{1}{{\left( {p - c} \right)\left( {p - a} \right)}} = \frac{{3p - a - b - c}}{{\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}} = \frac{p}{{p{{\rm{r}}^2}}} = \frac{1}{{{r^2}}}$