Chủ đề này có 4 trả lời

[conankun]

Cho $a,b,c>0 , a+b+c+d=4$

Tìm min của $P= \frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}$

[DOTOANNANG]

$$\sum_{\,c\,y\,c}\frac{\,d}{\,1\,+\,a^{\,2}\,b\,}=\sum_{\,c\,y\,c}\frac{\,d^{\,2}}{\,d\,+\,a^{\,2}\,bd}\,\geq\,\frac{(\,a\,+\,b\,+\,c\,+\,d\,)^{\,2}}{\sum\limits_{\,c\,y\,c\,}(\,d\,+\,a^{\,2}bd\,)}\,=$$

 

$$=\,\frac{\,16}{\,4\,+\,(\,ab\,+\,cd\,)(\,ad\,+\,bc\,)}\,\geq\,\frac{\,16}{\,4+\,\left(\frac{\,ab\,+\,bc\,+cd\,+\,da\,}{\,2}\right)^{\,2}}\,=$$

 

$$=\,\frac{\,16}{\,4\,+\,\left(\frac{(\,a\,+\,c)(\,b\,+\,d)}{\,2}\right)^{\,2}}\,\geq\,\frac{\,16}{\,4\,+\,\left(\frac{\left(\frac{\,a\,+\,c\,+\,b\,+\,d}{\,2}\right)^{\,2}}{\,2}\right)^{\,2}}\,=\,2$$

[conankun]

$$\sum_{\,c\,y\,c}\frac{\,d}{\,1\,+\,a^{\,2}\,b\,}=\sum_{\,c\,y\,c}\frac{\,d^{\,2}}{\,d\,+\,a^{\,2}\,bd}\,\geq\,\frac{(\,a\,+\,b\,+\,c\,+\,d\,)^{\,2}}{\sum\limits_{\,c\,y\,c\,}(\,d\,+\,a^{\,2}bd\,)}\,=$$

 

$$=\,\frac{\,16}{\,4\,+\,(\,ab\,+\,cd\,)(\,ad\,+\,bc\,)}\,\geq\,\frac{\,16}{\,4+\,\left(\frac{\,ab\,+\,bc\,+cd\,+\,da\,}{\,2}\right)^{\,2}}\,=$$

 

$$=\,\frac{\,16}{\,4\,+\,\left(\frac{(\,a\,+\,c)(\,b\,+\,d)}{\,2}\right)^{\,2}}\,\geq\,\frac{\,16}{\,4\,+\,\left(\frac{\left(\frac{\,a\,+\,c\,+\,b\,+\,d}{\,2}\right)^{\,2}}{\,2}\right)^{\,2}}\,=\,2$$

Bạn giải giùm mk cách THCS đk ko?

[Khoa Linh]

Bạn giải giùm mk cách THCS đk ko?

Cách trên là cách THCS không có gì cao siêu cả 

Kí hiệu: $\sum$ là chỉ tổng các đối xứng hoặc hoán vị, bạn chỉ mất 5 phút tra mạng để hiểu 

Thay vì viết $a+b+c$ thì ta viết $\sum_{sym}^{a,b,c}a$ sẽ gọn hơn rất nhiều 
Nhiều bài lằng nhằng nhiều biến thì viết kiểu kia thì rất khó chịu và mất thời gian. Bạn học kí hiệu này dần đi nhé

[PhanThai0301]

Cho $a,b,c>0 , a+b+c+d=4$

Tìm min của $P= \frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}$

Phân tích: nhìn vào đề bài ta có thể sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu.

Theo bất đẳng thức AM - GM

              $\frac{a}{1+b^{2}c}=a-\frac{ab^{2}c}{1+b^{2}c}\geq a-\frac{ab^{2}c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}\geq a-\frac{b\sqrt{a.ac}}{2}\geq a-\frac{b(a+ac)}{4}$ => $\frac{a}{1+b^{2}c}\geq a-\frac{1}{4}(ab+abc)$

Chứng minh tương: $\frac{b}{1+c^{2}d}\geq b-\frac{bc+bcd}{4};\frac{c}{1+d^{2}a}\geq c-\frac{cd+cda}{4};\frac{d}{1+a^{2}b}\geq d-\frac{da+dab}{4}$

              => $P\geq a+b+c+d-\frac{1}{4}(ab+bc+cd+da+abc+bcd+cda+dab)$.

Từ bất đẳng thức AM - GM dễ dàng cm được:

             $\frac{1}{4}(ab+bc+ca+da+abc+bcd+cda+dab)\geq 2$

=> $P\geq 4-2=2$.

Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=d=1.