Chủ đề này có 13 trả lời

[longnguyentan2002]

Đề thi ở mục đính kèm
Mọi người cho ý kiến với ạ!

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 04-01-2019 - 01:06

[Iceghost]

Câu 1 (4,0 điểm). Giải phương trình trên tập số thực: $x\sqrt{5-x^2} + \sqrt{x-1} = x+1$.

 

Câu 2 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọm có đường cao $AD$. Đường tròn tâm $M$, đường kính $BC$ cắt các đoạn thẳng $AC$, $AD$ lần lượt tại $E$, $F$ ($E \ne C$). Đường tròn tâm $B$, bán kinh $BF$ cắt tia $BE$ tại $G$. Gọi $H$ là giao điểm của tia $FG$ với $(M)$ và $I$ là điểm chính giữa cung nhỏ $EF$ của $(M)$. Đường thẳng qua $G$ vuông góc $MG$ cắt các đường thẳng $AD$, $HI$, $AC$ lần lượt tại $X$, $Y$, $Z$. Chứng minh $XG=GY=YZ$.

 

Câu 3 (3,0 điểm). Cho $a,$, $b$, $c$ là ba số thực dương thỏa mãn $abc = 1$. Chứng minh rằng $$\sqrt{a^2-a+1} + \sqrt{b^2-b+1} + \sqrt{c^2-c+1} \geqslant a+b+c.$$

 

Câu 4 (3,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^2-p+1$ là lập phương của một số tự nhiên.

 

Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(2018;0)$, $B(2018;2002)$, $C(0;2002)$, $X(2017;0)$, $Y(2018;1)$, $Z(1;2002)$, $T(0;2001)$. Chia hình chữ nhật $OABC$ thành $2018 \times 2002$ hình vuông đơn vị (đỉnh có tọa độ nguyên và có cạnh bằng $1$). Hỏi trong hình chữ nhật $OABC$ có bao nhiêu hình vuông đơn vị không có điểm chung với hình lục giác $XAYZCT$?

 

Câu 6 (3,0 điểm). Tồn tại hay không một hàm số $f: \mathbb{N^*} \rightarrow \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $$f(f(n-1)) = f(n+1) - f(n), \forall n \geqslant 2.$$

----- HẾT -----

[Duy Thai2002]

Bài bất sử dụng đánh giá $\sqrt{a^{2}-a+1}+\frac{1}{2}-a\geq \frac{3}{2(a^{2}+a+1)}$

[andrenguyen]

Bài hình sử dụng định lí Con Bướm ở vế đầu và tam giác đồng dạng ở vế sau

[hoangkimca2k2]

Câu 1 (4,0 điểm). Giải phương trình trên tập số thực: $x\sqrt{5-x^2} + \sqrt{x-1} = x+1$.

 

 

----- HẾT -----

Bài dễ trước 

Điều kiện: $1\leq x\leq \sqrt{5}$. Ta có: $x\sqrt{5-x^2} + \sqrt{x-1} = x+1$

$\Leftrightarrow (\sqrt{5x^{2}-x^{4}}-2)+(\sqrt{x-1}-x+1)=0$

$\Leftrightarrow \frac{-x^{4}+5x^{2}-4}{\sqrt{5x^{2}-x^{4}}+2}+\frac{x-1-x^{2}+2x-1}{\sqrt{x-1}+x-1}=0$

$\Leftrightarrow \frac{(x^{2}-1)(x^{2}-4)}{\sqrt{5x^{2}-x^{4}}+2}+\frac{(x-1)(x-2)}{\sqrt{x-1}+x-1}=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x-2)\left ( \frac{(x+1)(x+2)}{\sqrt{5x^{2}-x^{4}}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+x-1}\right )=0$

 

[xuanhoan23112002]

Bài 4:

Theo đề bài ta có: $p^2 -p+1=x^3$(x là số tự nhiên,x>1)

Hay $p(p-1)=(x-1)(x^2+x+1)$

Do $p$ là số nguyên tố nên $x-1$ hoặc $x^2+x+1$ chia hết cho$ p$

Nếu $x-1$ chia hết cho $p$ thì $x-1\ge p,x^2+x+1<p$ (vô lí với x là số tự nhiên >1) 

Do đó $x^2+x+1$ chia hết cho $p$ nên $x^2+x+1=pk$ (k là số tự nhiên)

Ta xét$ k=1,2$ không thỏa mãn

Xét $k\ge 3$

Thay vào phương trình ta được:$ p-1=(x-1)k$ hay $p=(x-1)k+1$

Từ đó ta có: $x^2+x+1=(xk-k+1)k$

Hay $x^2+x(1-k^2)+k^2-k+1=0$

Đây là phương trình bậc 2 ẩn x, để phương trình có nghiệm tự nhiên thì $\delta =k^4-6k^2+4k-3$ phải là số chính phương

Ta có: $(k^2-3)^2\le k^4-6k^2+4k-3<(k^2-2)^2$

Từ đó ta tìm được k=3 ta tìm được x=7, p=19 là số nguyên tố

Vậy p=19 là số nguyên tố thỏa mãn đề bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 11-04-2018 - 23:13

[mchuy88]

"Ta có nếu 1 số phân tích thành tích của 2 số nguyên dương khác 1 và chúng NTCN thì cách phân tích đó là duy nhất (1)...." Cái này có vẻ sai sai. Ví dụ 90 = 45.2= 9.10

[TrucCumgarDaklak]

Bài bất cho đề như vậy là quá tệ. Làm sao có thể nhảy ra một bất đẳng thức phụ như thế. Nhất là khi chưa gặp bao giờ và ngồi trong phòng thi làm sao làm được. Ít ra phải cho câu a là gợi ý chứ. Đề thi năm nay chán quá

Bất đẳng thức phụ này tìm tòi ra trong lúc chứng minh chứ có ai nói là nó tự nhảy ra đâu bạn

[YoLo]

Bài bất cho đề như vậy là quá tệ. Làm sao có thể nhảy ra một bất đẳng thức phụ như thế. Nhất là khi chưa gặp bao giờ và ngồi trong phòng thi làm sao làm được. Ít ra phải cho câu a là gợi ý chứ. Đề thi năm nay chán quá

 

Bất đẳng thức phụ này tìm tòi ra trong lúc chứng minh chứ có ai nói là nó tự nhảy ra đâu bạn

BĐT này sử dụng công cụ đạo hàm để tìm ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 ( chỉ học cuối chương trình 10 chuyên hoặc 11 chuyên)

[TrucCumgarDaklak]

BĐT này sử dụng công cụ đạo hàm để tìm ra phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 ( chỉ học cuối chương trình 10 chuyên hoặc 11 chuyên)

Tại mình nghĩ chuyên học mấy cái này sớm chứ

[Unrruly Kid]

Tại mình nghĩ chuyên học mấy cái này sớm chứ

Cái này là tiếp tuyến thì phải học rồi chứ nhỉ

[Unrruly Kid]

Còn cách làm bài bất khác không nhỉ??

[vamath16]

B2
BI là trung trực FG =>> FI=GI.
ta có gFBG=2gHFC( tiếp tuyến)
=>> gFBI=gIBE=gFCH
=>> IF=IE=CH=IG
=>> FICH, IECH là hình thang cân
ta có IC \\ GH và IG=CH =>> ICHG là hbh.
gọi T là giao của IH và GC =>> T là trung điểm của GC và TH.
xét tam giác GZC có YT \\ ZC và T là trung điểm GC =>> Y là trung điểm GZ =>> GY=GZ 
+) ta cm XG=GY
ta có MT vuông góc IH ( dó MT \\ BG mà BG vuông góc AC, AC \\ IH)
=>> GYTM nội tiếp =>> gGYM=gGTM.
dễ dàng có XGMD nội tiếp =>> gGXM=gGDM.
ta sẽ cm gGDM=gDTM <=> gGDB=gMTC
<=> tam giác GBD đồng dạng tam giác CBG ( dễ dàng cm với BF^2=FB^2=BD.BC nên có đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 04-01-2019 - 01:07

[Serinkain]

Bài 6: f(f(n-1))=f(n+1)-f(n).
Nhận thấy f(x)>f(y) với x>y.
f(f(n-1))<f(n+1) mọi n nên f(n-1)<n+1 mọi n. Dẫn đến f(n)<= n+1 mọi n. Mặt khác 1<=f(1)<f(2)<...<f(n) nên n<=f(n)<= n+1. Mà f(n) thuộc N* nên xảy ra 2 trường hợp:
+) f(n)=n suy ra f(n-1)=n-1. Thay vào f(n+1)=2n-1 lớn hơn n+2 nên mâu thuẫn.
+) f(n)=n+1. Khi đó f(n-1)=n hoặc f(n-1)=n-2. Tiếp tục thay vào tính f(n+1) rồi suy ra mâu thuẫn.
Vậy ko tồn tại hàm f thỏa mãn