Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum\frac{a}{a+b}\leq\frac{3}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
melodias2002

melodias2002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết

B1: Cho $a,b,c>0$. CMR $\sum\frac{a}{a+b}\leq\frac{3}{2}$

B2: Cho $x,y\geq0$ thoả mãn $2x+y\leq4$ và $2x+3y\leq6$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=x^2-2x-y$



#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Dùng đạo hàm, mình tính được cực tiểu xảy ra khi $x\,= \frac{2}{3}$, $y\,= \frac{14}{9}$ nên đường $(P)$ là $x^{2}- 2x- y+ \frac{22}{9}= 0$

 

Sau khi sử dụng GeoGebra để thực hiện phương pháp tuyến tính từng trường hợp, mình tính ra được $P_{\,m\,i\,n}\Leftrightarrow  2\,x\,+\, 3\,y\,=\, 6$

 

geogebra-export.png

 

Kiểm tra lại, ta có:

 

$$x^{2}- 2x- y+ \frac{22}{9}= \frac{1}{36}\left ( 14- 9y \right )^{2}\geq  0$$

 

Giờ tới lượt tính giá trị cực đại, điều này xảy ra khi $\left ( x, y \right )= \left ( 2, 0 \right ), \left ( 0, 0 \right )$, nên ta được $(P)$ thuộc đường $x^{2}- 2x- y= 0$

 

Sau khi sử dụng GeoGebra để thực hiện phương pháp tuyến tính từng trường hợp, mình tính ra được $P_{\,m\,a\,x}\Leftrightarrow  y\,=0$

 

geogebra-export (2).png

 

Thấy trường hợp này thỏa tất cả các điều kiện nên không cần thử lại

 

 

 

 

 

 

 



#3
tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

B1: Cho $a,b,c>0$. CMR $\sum\frac{a}{a+b}\leq\frac{3}{2}$

B2: Cho $x,y\geq0$ thoả mãn $2x+y\leq4$ và $2x+3y\leq6$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $P=x^2-2x-y$

Bài đầu xem lại đề



#4
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Bài 1 thiếu điều kiện:

 

1) $\,a\,\leq \, b\,\leq\,  c$ thì $\frac{a}{a+ b}\,+\, \frac{b}{b+ c}\,+\, \frac{c}{c+ a}\,\leq  \,\frac{3}{2}$

 

2) $a\,\geq \, b\,\geq \, c$ thì $\frac{a}{a+ b}\,+\, \frac{b}{b+ c}\,+\, \frac{c}{c+ a}\,\geq  \, \frac{3}{2}$

 

Đặt $x\,,\, y\,,\, z\,=\, a\,+\, b\,,\, a\,+\,c\,,\, b\,+\, c$

 

1) $a\,\leq \, b\,\leq \, c\,\Leftrightarrow \, x\,\leq  \,y\,\leq\,  z$

 

nên $\frac{x\,+\, y\,- \,z}{x}\,+ \,\frac{y\,+\, z\,-\,x}{y}\,+ \,\frac{z\,+ \,x\,-\, y}{z}\,\leq \, 3$

 

2)  $a\,\geq\,  b\,\geq\,  c\,\Leftrightarrow \, x\,\geq\,  y\,\geq\,  z$

 

nên $\frac{x\,+\, y\,- \,z}{x}\,+ \,\frac{y\,+\, z\,-\,x}{y}\,+ \,\frac{z\,+\, x\,-\, y}{z}\,\geq \, 3$

 

 

 

 

 

 



#5
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

$$\frac{3}{2}\,- \,\frac{a}{a+ b}\,-\, \frac{b}{b+ c}\,- \,\frac{c}{c+ a}\,= $$

 

$$1.\, \,\, c\,(\,\frac{1}{b+ c}- \,\frac{1}{a+ c}\,)\,+ \,\frac{b}{a+ b}\,- \,\frac{1}{2}$$

 

$$2.\,\,\, a\,(\,\frac{1}{a+ c}\,- \,\frac{1}{a+ b}\,)\,-\, \frac{b}{b+ c}\,+ \,\frac{1}{2}$$

 

$$3.\,\, \,- \,\frac{a- b}{2\,(\,a+ b\,)}\,+ \,\frac{a}{a+ c}\,- \,\frac{b}{b+ c}$$

 

$$4.\,\,\, \frac{(\, a-b\, )\, (\, b-c\, )\, (\, c-a\, )}{2\, (\, a+\, b)\, (\, b+c\, )(\, c+a\, )}$$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh