ĐỀ THI SINH VIÊN GIỎI CỦA ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NĂM 2018
Ngày thi: 08/04/2018.
Câu 1: Cho $A$ là một ma trận vuông thỏa mãn: $\exists k\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $A^{k}$ là ma trận không. Chứng minh rằng $I+A$ là ma trận khả nghịch.
Câu 2: Cho $f(x)$ là đa thức bậc $4$ thỏa mãn: $f(0)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=3,f(3)=32$. Hãy tìm $f(x)$.
Câu 3:
Cho hàm số: $f(x)=\left\{ \begin{array}{I} x+2x^2sin(\frac{1}{x}) \text{ khi }x\ge 0\\ 0 \text{ khi } x=0\end{array}\right.$.
(a) Chứng minh rằng: $f'(0)>0$.
(b) Với mỗi $\epsilon$, hàm số $f(x)$ không đơn điệu tăng trên $(-\epsilon,\epsilon)$.
Câu 4: Cho $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ là hàm số liên tục thỏa mãn: $|f(x)|<|x|,\forall x\ne 0$.
Lấy $x_{0}\in \mathbb{R}$ và đặt:
$x_1=f(x_0),x_2=f(x_1),...,x_n=f(x_{n-1})$,...
Chứng minh rằng, dãy $(x_n)$ tiến đến $0$.
Câu 5:
Cho $a,b,c>0$. Hãy tính: $lim_{x\rightarrow 0}(\frac{a^x+b^x+c^x}{3})^{\frac{1}{x}}$.