Chủ đề này có 5 trả lời

[PhanThai0301]

Mình muốn lập topic này để bàn 1 số cách để việc giải phương trình nghiệm nguyên trở nên gọn hơn mong các bạn ủng hộ.

Ba cách giải phương trình $ax+by=c$

1. Phương pháp truyền thống

Bài toán 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định: 23x + 53y = 109

                                                                                    Giải

1. Ta rút ẩn số có hệ số nhỏ hơn theo ẩn số kia;

    $x=\frac{109-53y}{23}=4-2y+\frac{17-2y}{23}$ (tách các phần nguyên ra)

    Muốn cho x nguyên khi y nguyên thì biểu thức $\frac{17-7y}{23}$ phải bằng 1 số nguyên nào đó, mà ta gọi là t.

    Ta có: $\frac{17-7y}{23}=t;17-7y=23t$ hay 23t +7 y=17

    Nếu ta tìm được cho t và y những giá trị nguyên thỏa mãn phương trình 23t+7y=17, tức là ta đã tìm được cho x những giá trị nguyên và giải được phương trình. Như vậy cách giải phương trình  đã cho quy về phương trình đơn giản hơn vì có hệ số nhỏ hơn.

2. Với phương trình 23t+7y=17 này, ta lại làm như trên. ta rút y

                $y=\frac{17-23t}{7}=2-3t+\frac{3-2t}{7}$

    Muốn cho y nguyên thì biểu thức $\frac{3-2t}{7}$ phải bằng một số nguyên nào đó chẳng hạn $t_{1}$.

    Ta sẽ có $\frac{3-2t}{7}=t_{1}$ hay $7t_{1}+2t=3$.

    ...

    Sau khi giải như vậy ta được biểu thức sau đây của x và y theo $t_{2}$: $x=-16+53t_{2};y=9-23t_{2}$.

    Hãy dừng lại một chút đề ngẫm nghĩ về con đường đã dẫn tới đáp số.

    Bằng việc đưa ra các số nguyên $t,t_{1},t_{2}$ trong bài toán đã liên tiếp thay phương trình phải giải bằng các phương trình có hệ số nhỏ hơn và tới khi xuất hiện hệ số bằng 1 bài toán kết thúc. nhưng kết thúc vào lúc nào thì chỉ phụ thuộc vào các con số ở đầu bài, bất chấp chúng ra sao hay sao? Phương pháp giải đó, về mặt lý thuyết, có thể xuất hiện $t_{100};t_{1000}$ hoặc hơn nữa mà máy tính điện tử mới đủ kiên nhẫn giải quyết. Và nỗi vất vả để đi tới $t_{n}$ là bao nhiêu thì nỗi vất vả trở về với x, y cũng bấy nhiêu. Như thể chúng ta đã leo lên đỉnh 1 ngôi nhà chọc trời, rồi lộn xuống đề sang thăm anh bạn hàng xóm!

     Cần tìm ra 1 con đường ngắn đáng lẽ phải có.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 09-04-2018 - 11:15

[nguyendangkhanh]

Mình muốn lập topic này để bàn 1 số cách để việt giải phương trình nghiệm nguyên trở nên gọn hơn mong các bạn ủng hộ.

Ba cách giải phương trình $ax+by=c$

1. Phương pháp truyền thống

Bài toán 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định: 23x + 53y = 109

1. Ta rút ẩn số có hệ số nhỏ hơn theo ẩn số kia;

    $x=\frac{109-53y}{23}=4-2y+\frac{17-2y}{23}$ (tách các phần nguyên ra)

    Muốn cho x nguyên khi y nguyên thì biểu thức $\frac{17-7y}{23}$ phải bằng 1 số nguyên nào đó, mà ta gọi là t.

    Ta có: $\frac{17-7y}{23}=t;17-7y=23t$ hay 23t +7 y=17

    Nếu ta tìm được cho t và y những giá trị nguyên thỏa mãn phương trình 23t+7y=17, tức là ta đã tìm được cho x những giá trị nguyên và giải được phương trình. Như vậy cách giải phương trình  đã cho quy về phương trình đơn giản hơn vì có hệ số nhỏ hơn.

2. Với phương trình 23t+7y=17 này, ta lại làm như trên. ta rút y

                $y=\frac{17-23t}{}7=2-3t+\frac{3-2t}{7}$

    Muốn cho y nguyên thì biểu thức $\frac{3-2t}{7}$ phải bằng một số nguyên nào đó chẳng hạn $t_{1}$.

    Ta sẽ có $\frac{3-2t}{7}=t_{1}$ hay $7t_{1}+2t=3$.

    ...

    Sau khi giải như vậy ta được biểu thức sau đây của x và y theo $t_{2}$: $x=-16+53t_{2};y=9-23t_{2}$.

    Hãy dừng lại một chút đề ngẫm nghĩ về con đường đã dẫn tới đáp số.

    Bằng việc đưa ra các số nguyên $t,t_{1},t_{2}$ trong bài toán đã liên tiếp thay phương trình phải giải bằng các phương trình có hệ số nhỏ hơn và tới khi xuất hiện hệ số bằng 1 bài toán kết thúc. nhưng kết thúc vào lúc nào thì chỉ phụ thuộc vào các con số ở đầu bài, bất chập chúng ra sao hay sao? Phương pháp giải đó, về mặt lý thuyết, có thể xuất hiện $t_{100};t_{1000}$ hoặc hơn nữa mà máy tính điện tử mới đủ kiên nhẫn giải quyết. Và nỗi vất vả để đi tới $t_{n}$ là bao nhiêu thì nỗi vất vả trở về với x, y cũng bấy nhiêu. Như thể chúng ta đã leo lên đỉnh 1 ngôi nhà chọc trời, rồi lộn xuống đề sang thăm anh bạn hàng xóm!

     Cần tìm ra 1 con đường ngắn đáng lẽ phải có.

Trịnh Dũng ơi, Khánh có góp ý tí ở phần đầu nè, rút ngắn phần đầu bằng cách chia hết chứ cách làm tương tự, phần đầu mik có thể làm như thế này:

                     23x+53y=109

            <=>  23x+46y +7y=115-6

            <=> 23(x+2y-5) + (7y+6) = 0

- Vì 23(x+2y-5)  chia hết cho 23 và 0 chia hết 23 nên 7y+6 chia hết cho 23 nên ta đặt 7y+6 = 23t suy ra y = (23t-6):7 mà y thuộc z nên 23t-6 chia hết cho 7

Ta lại có 23t -6 = 21t +2t-6  chia hết cho 7 mà 21t chia hết cho 7 nên 2t-6 chia hết cho 7. Điều này xảy ra khi 2t đồng dư với 6 theo mod 7 nên t đồng dư với 3 theo mod 7 do (2;7)=1. Từ đó ta có y= 7k+3 và cũng có được x = -16-53k. Nhanh hơn rồi

[PhanThai0301]

2. Con đường mới

Bài toán 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x + 67y = 43

                                                                                   Giải

Ta có: $x=\frac{43-67y}{12}=3-5y+\frac{7(1-y)}{12}$

 Để x nguyên, y nguyên thì $\frac{7(1-y)}{12}$ cũng phải là 1 số nguyên.

 Nhưng vì 7; 12 nguyên tố cùng nhau nên 1-y chia hết cho 12, tức là 1-y=12t với t là số nguyên. Vậy y=1-12t và x= 67t-2.

 Các con số ngẫu nhiên trong bài toán đã cho ta 1 lời giải đẹp! Có thể giải bài toán 1 bằng cách đó được không? Nhiều người cho rằng ý kiến đó là kỳ quặc! Ta cứ thử xem.

 Nhìn lại đẳng thức $x=4-2y+\frac{7(3-y)-4}{23}$

 Con số 4 mới đã gây ra phiền phức nếu nó chia hết 23 thì tốt quá!

 Bằng 1 linh cảm trực giác chúng ta lựa chọn 1 con số 46 .

 Ta viết:

             $x=4-2y+\frac{17-2y}{23}=4-2y+\frac{17+46-7y-46}{23}=4-2y+\frac{7(9-y)}{23}-2$

 Hệ số 1 đã xuất hiện! Do 7; 23 nguyên tố cùng nhau nên để x, y nguyên ta phải có $\frac{9-y}{23}=t$ là 1 số nguyên. Suy ra y=9-32t và x=53t-16.

  Chúng ta đã đạt tới thắng lợi không còn nghi nghờ gì nữa. Lời giải đẹp của bài toán 2 có những con số đẹp đã ép không thương tiếc cho bài toán 1 vốn không có gì đặc biệt đã thực sự thành công. Chúng ta tin tưởng xét bài toán tổng quát:

  Tìm phương trình nghiệm nguyên cho phương trình vô định: ax + by =c trong đó a, b, c là các số nguyên.

  Trước tiên ta rút x và được $x=\frac{c-by}{a}$.

  Sau đó chọn A là bội số nguyên a sao cho c+A chia hết cho b, tức A=ma, c+A=kb với m, k là các số nguyên,.

  Vậy $x=\frac{c+A-by-A}{a}=\frac{kb-ky}{a}-m=\frac{b(k-y)}{a}-m$

  Cùng giản ước $\frac{b}{a}$ để đưa về dạng tới giản $\frac{b'}{a'}(=\frac{b}{a})$.

  Để x nguyên phải có $\frac{b'(k-y)}{a'}$ nguyên do (a', b')=1 nên k-y phải chia hết cho a.

  Đó chính là con đường ngắn nhất để thăm anh bạn hàng xóm!

  Mình xin đề nghị một số bài để các bạn luyện tập như sau:

  1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1994x + 2001y = 2027 (Các con số thể hiện năm 1994, năm đầu tiên của thế kỷ 21, năm con người ta dự kiến lên sao hỏa)

  2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình -12x + 3,(2)y = $39\tfrac{2}{9}$.

  Do kiến thức hạn hẹp mình chỉ có thể viết dến đây mong các anh chi, các bạn ủng hộ topic lầm sau mình sẽ đăng tiếp .

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 08-04-2018 - 22:51

[PhanThai0301]

, Khánh có góp ý tí ở phần đầu nè, rút ngắn phần đầu bằng cách chia hết chứ cách làm tương tự, phần đầu mik có thể làm như thế này:

                     23x+53y=109

            <=>  23x+46y +7y=115-6

            <=> 23(x+2y-5) + (7y+6) = 0

- Vì 23(x+2y-5)  chia hết cho 23 và 0 chia hết 23 nên 7y+6 chia hết cho 23 nên ta đặt 7y+6 = 23t suy ra y = (23t-6):7 mà y thuộc z nên 23t-6 chia hết cho 7

Ta lại có 23t -6 = 21t +2t-6  chia hết cho 7 mà 21t chia hết cho 7 nên 2t-6 chia hết cho 7. Điều này xảy ra khi 2t đồng dư với 6 theo mod 7 nên t đồng dư với 3 theo mod 7 do (2;7)=1. Từ đó ta có y= 7k+3 và cũng có được x = -16-53k. Nhanh hơn rồi

 Đó là cách bạn có thể dùng trong 1 số TH nhưng trong 1 số bài toán khác bạn không thề dùng được cách này.

[nguyendangkhanh]

2. Con đường mới

Bài toán 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x + 67y = 43

                                                                                   Giải

Ta có: $x=\frac{43-67y}{12}=3-5y+\frac{7(1-y)}{12}$

 Để x nguyên, y nguyên thì $\frac{7(1-y)}{12}$ cũng phải là 1 số nguyên.

 Nhưng vì 7; 12 nguyên tố cùng nhau nên 1-y chia hết cho 12, tức là 1-y=12t với t là số nguyên. Vậy y=1-12t và x= 67t-2.

 Các con số ngẫu nhiên trong bài toán đã cho ta 1 lời giải đẹp! Có thể giải bài toán 1 bằng cách đó được không? Nhiều người cho rằng ý kiến đó là kỳ quặc! Ta cứ thử xem.

 Nhìn lại đẳng thức $x=4-2y+\frac{7(3-y)-4}{23}$

 Con số 4 mới đã gây ra phiền phức nếu nó chia hết 23 thì tốt quá!

 Bằng 1 linh cảm trực giác chúng ta lựa chọn 1 con số 46 .

 Ta viết:

             $x=4-2y+\frac{17-2y}{23}=4-2y+\frac{17+46-7y-46}{23}=4-2y+\frac{7(9-y)}{23}-2$

 Hệ số 1 đã xuất hiện! Do 7; 23 nguyên tố cùng nhau nên để x, y nguyên ta phải có $\frac{9-y}{23}=t$ là 1 số nguyên. Suy ra y=9-32t và x=53t-16.

  Chúng ta đã đạt tới thắng lợi không còn nghi nghờ gì nữa. Lời giải đẹp của bài toán 2 có những con số đẹp đã ép không thương tiếc cho bài toán 1 vốn không có gì đặc biệt đã thực sự thành công. Chúng ta tin tưởng xét bài toán tổng quát:

  Tìm phương trình nghiệm nguyên cho phương trình vô định: ax + by =c trong đó a, b, c là các số nguyên.

  Trước tiên ta rút x và được $x=\frac{c-by}{a}$.

  Sau đó chọn A là bội số nguyên a sao cho c+A chia hết cho b, tức A=ma, c+A=kb với m, k là các số nguyên,.

  Vậy $x=\frac{c+A-by-A}{a}=\frac{kb-ky}{a}-m=\frac{b(k-y)}{a}-m$

  Cùng giản ước $\frac{b}{a}$ để đưa về dạng tới giản $\frac{b'}{a'}(=\frac{b}{a})$.

  Để x nguyên phải có $\frac{b'(k-y)}{a'}$ nguyên do (a', b')=1 nên k-y phải chia hết cho a.

  Đó chính là con đường ngắn nhất để thăm anh bạn hàng xóm!

  Mình xin đề nghị một số bài để các bạn luyện tập như sau:

  1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1994x + 2001y = 2027 (Các con số thể hiện năm 1994, năm đầu tiên của thế kỷ 21, năm con người ta dự kiến lên sao hỏa)

  2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình -12x + 3,(2)y = $39\tfrac{2}{9}$.

  Do kiến thức hạn hẹp mình chỉ có thể viết dến đây mong các anh chi, các bạn ủng hộ topic lầm sau mình sẽ đăng tiếp .

 

 

 

 

2. Con đường mới

Bài toán 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x + 67y = 43

                                                                                   Giải

Ta có: $x=\frac{43-67y}{12}=3-5y+\frac{7(1-y)}{12}$

 Để x nguyên, y nguyên thì $\frac{7(1-y)}{12}$ cũng phải là 1 số nguyên.

 Nhưng vì 7; 12 nguyên tố cùng nhau nên 1-y chia hết cho 12, tức là 1-y=12t với t là số nguyên. Vậy y=1-12t và x= 67t-2.

 Các con số ngẫu nhiên trong bài toán đã cho ta 1 lời giải đẹp! Có thể giải bài toán 1 bằng cách đó được không? Nhiều người cho rằng ý kiến đó là kỳ quặc! Ta cứ thử xem.

 Nhìn lại đẳng thức $x=4-2y+\frac{7(3-y)-4}{23}$

 Con số 4 mới đã gây ra phiền phức nếu nó chia hết 23 thì tốt quá!

 Bằng 1 linh cảm trực giác chúng ta lựa chọn 1 con số 46 .

 Ta viết:

             $x=4-2y+\frac{17-2y}{23}=4-2y+\frac{17+46-7y-46}{23}=4-2y+\frac{7(9-y)}{23}-2$

 Hệ số 1 đã xuất hiện! Do 7; 23 nguyên tố cùng nhau nên để x, y nguyên ta phải có $\frac{9-y}{23}=t$ là 1 số nguyên. Suy ra y=9-32t và x=53t-16.

  Chúng ta đã đạt tới thắng lợi không còn nghi nghờ gì nữa. Lời giải đẹp của bài toán 2 có những con số đẹp đã ép không thương tiếc cho bài toán 1 vốn không có gì đặc biệt đã thực sự thành công. Chúng ta tin tưởng xét bài toán tổng quát:

  Tìm phương trình nghiệm nguyên cho phương trình vô định: ax + by =c trong đó a, b, c là các số nguyên.

  Trước tiên ta rút x và được $x=\frac{c-by}{a}$.

  Sau đó chọn A là bội số nguyên a sao cho c+A chia hết cho b, tức A=ma, c+A=kb với m, k là các số nguyên,.

  Vậy $x=\frac{c+A-by-A}{a}=\frac{kb-ky}{a}-m=\frac{b(k-y)}{a}-m$

  Cùng giản ước $\frac{b}{a}$ để đưa về dạng tới giản $\frac{b'}{a'}(=\frac{b}{a})$.

  Để x nguyên phải có $\frac{b'(k-y)}{a'}$ nguyên do (a', b')=1 nên k-y phải chia hết cho a.

  Đó chính là con đường ngắn nhất để thăm anh bạn hàng xóm!

  Mình xin đề nghị một số bài để các bạn luyện tập như sau:

  1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1994x + 2001y = 2027 (Các con số thể hiện năm 1994, năm đầu tiên của thế kỷ 21, năm con người ta dự kiến lên sao hỏa)

  2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình -12x + 3,(2)y = $39\tfrac{2}{9}$.

  Do kiến thức hạn hẹp mình chỉ có thể viết dến đây mong các anh chi, các bạn ủng hộ topic lầm sau mình sẽ đăng tiếp .

 

 

 

 

2. Con đường mới

Bài toán 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 12x + 67y = 43

                                                                                   Giải

Ta có: $x=\frac{43-67y}{12}=3-5y+\frac{7(1-y)}{12}$

 Để x nguyên, y nguyên thì $\frac{7(1-y)}{12}$ cũng phải là 1 số nguyên.

 Nhưng vì 7; 12 nguyên tố cùng nhau nên 1-y chia hết cho 12, tức là 1-y=12t với t là số nguyên. Vậy y=1-12t và x= 67t-2.

 Các con số ngẫu nhiên trong bài toán đã cho ta 1 lời giải đẹp! Có thể giải bài toán 1 bằng cách đó được không? Nhiều người cho rằng ý kiến đó là kỳ quặc! Ta cứ thử xem.

 Nhìn lại đẳng thức $x=4-2y+\frac{7(3-y)-4}{23}$

 Con số 4 mới đã gây ra phiền phức nếu nó chia hết 23 thì tốt quá!

 Bằng 1 linh cảm trực giác chúng ta lựa chọn 1 con số 46 .

 Ta viết:

             $x=4-2y+\frac{17-2y}{23}=4-2y+\frac{17+46-7y-46}{23}=4-2y+\frac{7(9-y)}{23}-2$

 Hệ số 1 đã xuất hiện! Do 7; 23 nguyên tố cùng nhau nên để x, y nguyên ta phải có $\frac{9-y}{23}=t$ là 1 số nguyên. Suy ra y=9-32t và x=53t-16.

  Chúng ta đã đạt tới thắng lợi không còn nghi nghờ gì nữa. Lời giải đẹp của bài toán 2 có những con số đẹp đã ép không thương tiếc cho bài toán 1 vốn không có gì đặc biệt đã thực sự thành công. Chúng ta tin tưởng xét bài toán tổng quát:

  Tìm phương trình nghiệm nguyên cho phương trình vô định: ax + by =c trong đó a, b, c là các số nguyên.

  Trước tiên ta rút x và được $x=\frac{c-by}{a}$.

  Sau đó chọn A là bội số nguyên a sao cho c+A chia hết cho b, tức A=ma, c+A=kb với m, k là các số nguyên,.

  Vậy $x=\frac{c+A-by-A}{a}=\frac{kb-ky}{a}-m=\frac{b(k-y)}{a}-m$

  Cùng giản ước $\frac{b}{a}$ để đưa về dạng tới giản $\frac{b'}{a'}(=\frac{b}{a})$.

  Để x nguyên phải có $\frac{b'(k-y)}{a'}$ nguyên do (a', b')=1 nên k-y phải chia hết cho a.

  Đó chính là con đường ngắn nhất để thăm anh bạn hàng xóm!

  Mình xin đề nghị một số bài để các bạn luyện tập như sau:

  1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 1994x + 2001y = 2027 (Các con số thể hiện năm 1994, năm đầu tiên của thế kỷ 21, năm con người ta dự kiến lên sao hỏa)

  2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình -12x + 3,(2)y = $39\tfrac{2}{9}$.

  Do kiến thức hạn hẹp mình chỉ có thể viết dến đây mong các anh chi, các bạn ủng hộ topic lầm sau mình sẽ đăng tiếp .

 

 hay lắm

[nguyendangkhanh]

 Đó là cách bạn có thể dùng trong 1 số TH nhưng trong 1 số bài toán khác bạn không thề dùng được cách này.

cho ví dụ với bạn