$$- \,\frac{{3\left[ {2\,\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} - 9q + 7} \right]}}{{2\,\left[ {\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} - 9q - 1} \right]}} \,\ge\, \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \,\ge \,- \frac{{3\,\left[ {2\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} + 9q - 7} \right]}}{{2\,\left[ {\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} + 9q + 1} \right]}}$$
Sử dụng một vài phép biến đổi sau:
$$\frac{a}{b+ c}\,+ \,\frac{b}{c+ a}\,+ \,\frac{c}{a+ b}\,= \,\frac{a^{3}+ b^{3}+ c^{3}+ ab\,(a+ b)+ bc\,(b+ c)+ ca\,(c+ a)+ 3abc}{(a+ b)\,(b+ c)\,(c+ a)}$$
$$a^{\,3}+ b^{\,3}+ c^{\,3}\,=\, q^{\,2}+ 3\,abc$$
$$ab\,(a+ b)+ bc\,(b+ c)+ ca\,(c+ a)\,= \,\frac{1- q^{\,2}}{\,3}\,- \,3\,abc$$
$$(a+ b)\,(b+ c)\,(c+ a)\,=\, \frac{1- q^{\,2}}{\,3}\,-\, abc$$
Sau khi khai triển mình thấy:
$$\frac{a}{b+ c}\,+ \,\frac{b}{c+ a}\,+\, \frac{c}{a+ b}\,+\, 3\,= \,\frac{\frac{1+ 2q^{2}}{3}\,+\, 3abc}{\frac{1- q^{2}}{3}\,- \,abc}\,+\, 3\,=\, \frac{\frac{1- q^{2}}{3}\,+\, 1}{\frac{1- q^{2}}{3}\,-\, abc}$$
Ta giải đạo hàm theo ẩn $\frac{1- q^{\,2}}{\,3}$ cho đến khi tìm được nghiệm của đạo hàm.
Đây là bài toán được xây dựng theo bổ đề rất chặt của Võ Quốc Bá Cẩn đòi hỏi khai triển pqr và sử dụng đạo hàm nhiều. Đang cố gắng làm tiếp...