4 replies to this topic

[tr2512]

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm sao cho không có hai số đồng thời bằng 0 và $a+b+c=1; ab+bc+ca=q$

Chứng minh: $- \frac{{3\left[ {2\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} - 9q + 7} \right]}}{{2\left[ {\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} - 9q - 1} \right]}} \ge \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \ge - \frac{{3\left[ {2\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} + 9q - 7} \right]}}{{2\left[ {\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} + 9q + 1} \right]}}$

Edited by tr2512, 09-04-2018 - 13:55.

[DOTOANNANG]

$$- \,\frac{{3\left[ {2\,\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} - 9q + 7} \right]}}{{2\,\left[ {\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} - 9q - 1} \right]}} \,\ge\, \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \,\ge \,- \frac{{3\,\left[ {2\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} + 9q - 7} \right]}}{{2\,\left[ {\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} + 9q + 1} \right]}}$$

 

Sử dụng một vài phép biến đổi sau:

 

$$\frac{a}{b+ c}\,+ \,\frac{b}{c+ a}\,+ \,\frac{c}{a+ b}\,= \,\frac{a^{3}+ b^{3}+ c^{3}+ ab\,(a+ b)+ bc\,(b+ c)+ ca\,(c+ a)+ 3abc}{(a+ b)\,(b+ c)\,(c+ a)}$$

 

$$a^{\,3}+ b^{\,3}+ c^{\,3}\,=\, q^{\,2}+ 3\,abc$$

 

$$ab\,(a+ b)+ bc\,(b+ c)+ ca\,(c+ a)\,= \,\frac{1- q^{\,2}}{\,3}\,- \,3\,abc$$

 

$$(a+ b)\,(b+ c)\,(c+ a)\,=\, \frac{1- q^{\,2}}{\,3}\,-\, abc$$

 

Sau khi khai triển mình thấy:

 

$$\frac{a}{b+ c}\,+ \,\frac{b}{c+ a}\,+\, \frac{c}{a+ b}\,+\, 3\,= \,\frac{\frac{1+ 2q^{2}}{3}\,+\, 3abc}{\frac{1- q^{2}}{3}\,- \,abc}\,+\, 3\,=\, \frac{\frac{1- q^{2}}{3}\,+\, 1}{\frac{1- q^{2}}{3}\,-\, abc}$$

 

Ta giải đạo hàm theo ẩn $\frac{1- q^{\,2}}{\,3}$ cho đến khi tìm được nghiệm của đạo hàm. 

 

Đây là bài toán được xây dựng theo bổ đề rất chặt của Võ Quốc Bá Cẩn đòi hỏi khai triển pqr và sử dụng đạo hàm nhiều. Đang cố gắng làm tiếp...

 

[tr2512]

$$- \,\frac{{3\left[ {2\,\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} - 9q + 7} \right]}}{{2\,\left[ {\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} - 9q - 1} \right]}} \,\ge\, \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} \,\ge \,- \frac{{3\,\left[ {2\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} + 9q - 7} \right]}}{{2\,\left[ {\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} + 9q + 1} \right]}}$$

 

Sử dụng một vài phép biến đổi sau:

 

$$\frac{a}{b+ c}\,+ \,\frac{b}{c+ a}\,+ \,\frac{c}{a+ b}\,= \,\frac{a^{3}+ b^{3}+ c^{3}+ ab\,(a+ b)+ bc\,(b+ c)+ ca\,(c+ a)+ 3abc}{(a+ b)\,(b+ c)\,(c+ a)}$$

 

$$a^{\,3}+ b^{\,3}+ c^{\,3}\,=\, q^{\,2}+ 3\,abc$$

 

$$ab\,(a+ b)+ bc\,(b+ c)+ ca\,(c+ a)\,= \,\frac{1- q^{\,2}}{\,3}\,- \,3\,abc$$

 

$$(a+ b)\,(b+ c)\,(c+ a)\,=\, \frac{1- q^{\,2}}{\,3}\,-\, abc$$

 

Sau khi khai triển mình thấy:

 

$$\frac{a}{b+ c}\,+ \,\frac{b}{c+ a}\,+\, \frac{c}{a+ b}\,+\, 3\,= \,\frac{\frac{1+ 2q^{2}}{3}\,+\, 3abc}{\frac{1- q^{2}}{3}\,- \,abc}\,+\, 3\,=\, \frac{\frac{1- q^{2}}{3}\,+\, 1}{\frac{1- q^{2}}{3}\,-\, abc}$$

 

Ta giải đạo hàm theo ẩn $\frac{1- q^{\,2}}{\,3}$ cho đến khi tìm được nghiệm của đạo hàm. 

 

Đây là bài toán được xây dựng theo bổ đề rất chặt của Võ Quốc Bá Cẩn đòi hỏi khai triển pqr và sử dụng đạo hàm nhiều. Đang cố gắng làm tiếp...

hình như anh có nhầm lẫn gì đó các phép biến đổi hình như chưa chính xác lắm $ab+bc+ca=q$ mà anh

[DOTOANNANG]

hình như anh có nhầm lẫn gì đó các phép biến đổi hình như chưa chính xác lắm $ab+bc+ca=q$ mà anh

Rất xin lỗi, mình đọc khai triển pqr nên nhầm $ab+ bc+ ca= \frac{p^{2}- q^{2}}{3}$ với $ab+bc+ca=q$. Chắc sẽ tìm cách chỉnh lại cho phù hợp với đề.

Edited by DOTOANNANG, 10-04-2018 - 19:50.

[tr2512]

Đăng lời giải cho bài này, thiết nghĩ sẽ có bạn cần , mà đơn giản mà

Đặt $abc=r; ab+bc+ca=q$, ta có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} = \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{\rm{a}}bc + ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = \frac{{1 - 3q + 3{\rm{r}} + 3{\rm{r}} + q - 3{\rm{r}}}}{{q - r}} = \frac{{{\rm{3r}} - 2q + 1}}{{q - r}}$

Dễ thấy đây là hàm đồng biến theo $r$

Ta xét khai triển quen thuộc

${\left( {a - b} \right)^2}{\left( {b - c} \right)^2}{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {q^2} - 4{q^3} + 18q{\rm{r}} - 4r - 27{{\rm{r}}^2} \ge 0$

Coi đây là một hàm bậc 2 theo $r$, giải được:

$\frac{{9q - 2 - 2\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} }}{{27}} \le r \le \frac{{9q - 2 + 2\left( {1 - 3q} \right)\sqrt {1 - 3q} }}{{27}}$

Thế 2 biểu thức trên vào biểu thức ban đầu thu được điều phải chứng minh.

P/s: đây là một biểu thức khá chặt (dấu bằng xảy ra khi chỉ 2 biến bằng nhau) và có thể sử dụng để giải nhiều bài dạng $f\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}};a + b + c;ab + bc + ca} \right)$

Edited by tr2512, 14-04-2018 - 18:38.