Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $9$ số thực phân biệt $a_{1},a_{2},...,a_{9}$. Chứng minh rằng có thể tìm được $2$ số $a_{i}\neq a_{j}$ sao cho:

$0<\frac{a_{i}-a_{i}}{1+a_{i}a_{j}}<\sqrt{2}-1$

[yagami wolf]

Theo nguyên lý dirichlet từ 9 số thực phân biệt luôn tồn tại ít nhất 4 số cùng dấu . chọn hai số trong số đó là $a_{i},a_{j}$. Giả sử $a_{i}> a_{j}$

$\Rightarrow \frac{a_{i}-a_{j}}{1+a_{i}a_{j}}$ < 0

Tiếp theo ta chứng minh ý thứ 2

Đặt $a_{i}=tan\alpha ;a_{j}=tan\beta$

Khi đó : $\frac{a_{i}-a_{j}}{1+a_{i}a_{j}}=tan(\alpha -\beta )$

Đặt $\alpha -\beta =\gamma +k\Pi ,\gamma \in (-\Pi /2;\Pi /2)$ ;

Từ 9 số ta chia thành 8 khoảng trên trục số , độ dài trục dài $\Pi$, mỗi khoảng dài $\Pi /8$ , theo dirichlet sẽ có 2 điểm nằm trong 1 khoảng. giả sử đó là $a_{i},a_{j}\Rightarrow \gamma < \Pi /8\Rightarrow tan\gamma < \sqrt{2}-1$

ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yagami wolf: 12-04-2018 - 07:45