Chủ đề này có 8 trả lời

[NTVIETANH]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^{2}+4x+15+\frac{36x+81}{x^2}$

[NTVIETANH]

làm ơn giúp em với ạ

[Tran Hoai Nghia]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x^{2}+4x+15+\frac{36x+81}{x^2}$

Biến đổi biểu thức trên thành $(x + 2)^{2} + 11 + (\frac{9}{x})^{2}+\frac{36}{x} = (x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} +7$
 Xét $(x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2}= \frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Buniacopski, ta có:

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Khi và chỉ khi $x +2 =\frac{9}{x}+2 \Leftrightarrow x =3$  hoặc $x = -3$ và đoạt min khi $x = -3$.

Vậy min $f(x) = 9$ khi $x = -3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 26-04-2018 - 20:01

[ShineDark]

Biến đổi biểu thức trên thành $(x + 2)^{2} + 11 + (\frac{9}{x})^{2}+\frac{36}{x} = (x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} +7$
 Xét $(x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2}= \frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Buniacopski, ta có:

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Khi và chỉ khi $x +2 =\frac{9}{x}+2 \Leftrightarrow x =3$  hoặc $x = -3$ và đoạt min khi $x = -3$.

Vậy min $f(x) = 9$ khi $x = -3$.

Bài giải bị sai nha các bạn, tối về up lại nhé, nhưng min đúng là 9 khi x=-3.

[NTVIETANH]

Biến đổi biểu thức trên thành $(x + 2)^{2} + 11 + (\frac{9}{x})^{2}+\frac{36}{x} = (x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} +7$
 Xét $(x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2}= \frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Buniacopski, ta có:

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Khi và chỉ khi $x +2 =\frac{9}{x}+2 \Leftrightarrow x =3$  hoặc $x = -3$ và đoạt min khi $x = -3$.

Vậy min $f(x) = 9$ khi $x = -3$.

 

Thanks ạ

[Tran Hoai Nghia]

Thanks ạ

chưa đúng đâu em, anh nhầm rồi, phải áp dụng thêm BĐT Cô si nữa.

 

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=3 hoặc -3.(1)

Xét $x+\frac{9}{x}$, nếu x >0 thì $x+\frac{9}{x}\geq 6$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 57 khi x=3. 

Với x <0 thì $x+\frac{9}{x}\leq -6\Leftrightarrow x+\frac{9}{x} +4\leq -2\Rightarrow \left (x+\frac{9}{x} +4 \right )^{2}\geq 4$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=-3.(2)

Với (1) và (2) min là 9 khi x =-3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 26-04-2018 - 20:11

[NTVIETANH]

em cảm ơn ạ

 

chưa đúng đâu em, anh nhầm rồi, phải áp dụng thêm BĐT Cô si nữa.

 

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=3 hoặc -3.(1)

Xét $x+\frac{9}{x}$, nếu x >0 thì $x+\frac{9}{x}\geq 6$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 57 khi x=3. 

Với x <0 thì $x+\frac{9}{x}\leq -6\Leftrightarrow x+\frac{9}{x} +4\leq -2\Rightarrow \left (x+\frac{9}{x} +4 \right )^{2}\geq 4$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=-3.(2)

Với (1) và (2) min là 9 khi x =-3.

em cảm ơn ạ

[NTVIETANH]

chưa đúng đâu em, anh nhầm rồi, phải áp dụng thêm BĐT Cô si nữa.

 

$\frac{\left ((x+2)^{2}+\left ( \frac{9}{x}+2 \right )^{2} \right )(1^{2}+1^{2})}{2}\geq \frac{\left ( x+\frac{9}{x} +4\right )^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi x=3 hoặc -3.(1)

Xét $x+\frac{9}{x}$, nếu x >0 thì $x+\frac{9}{x}\geq 6$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 57 khi x=3. 

Với x <0 thì $x+\frac{9}{x}\leq -6\Leftrightarrow x+\frac{9}{x} +4\leq -2\Rightarrow \left (x+\frac{9}{x} +4 \right )^{2}\geq 4$, biểu thức có giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=-3.(2)

Với (1) và (2) min là 9 khi x =-3.

mà tại sao lại phải xét x>0 và x<0 ạ?

[Tran Hoai Nghia]

mà tại sao lại phải xét x>0 và x<0 ạ?

Bình thường nhìn vào em đã biết biểu thức đó min không phải là 57 khi x<0 rồi, ít nhất là đến bước dùng bđt cauchy, còn ở phần bunia là các số hạng số thực không có ràng buộc gì.

Cho nên em cần phải xét x<0, mà nếu x<0 thì 9/x <0 thì sao áp dụng bđt cauchy được?

Lúc này em đổi dấu bđt cauchy thôi: với a,b âm thì bđt cauchy trở thành $-\frac{a+b}{2}\geqslant \sqrt{ab}\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\leqslant -\sqrt{ab}$ ( đáng lẽ là $\sqrt{(-a)(-b)}$, nó cũng như $\sqrt{ab}$ mà thôi).

Có nghĩa là $x+\frac{9}{x}\leqslant -6$.

Lưu ý, x=0 không xét được em nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoai Nghia: 05-05-2018 - 21:24