Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$ và  $a+b\neq 0;b+c\neq 0;c+a\neq 0$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ac}$

 

P/s: dùng dồn biến là ok :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 12-04-2018 - 20:30

  N.D.P 

#2
tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 272 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0$ và  $a+b\neq 0;b+c\neq 0;c+a\neq 0$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ac}$

https://diendantoanh...-c-fracca-b-ge/

Phang thẳng cái này vô :D 



#3
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

https://diendantoanh...-c-fracca-b-ge/

Phang thẳng cái này vô :D

 

ko cần gắt thế này đâu @@


  N.D.P 

#4
hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 474 Bài viết

Thêm 1 bước cho $BDT$ phía trên

 

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{16(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^{2}}\geq 6$


  N.D.P 

#5
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Lời giải:

Ta có: $\frac{a}{b+c}=\frac{a^2}{ab+ac}\geq \frac{a^2}{ab+bc+ca}$

Suy ra $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#6
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Hoặc là làm thế này:

Ta có:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ac}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} +3\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ac}+3$

$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}+1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{b+c} \geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}{(ab+bc+ca)(a+b+c)}$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \leq (ab+bc+ca)(a+b+c)$

$ \Leftrightarrow abc \geq 0$ (sai thế nào được)

Đẳng thức xảy ra khi một và chỉ một trong ba số a,b,c bằng 0 


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             


#7
Arthur Pendragon

Arthur Pendragon

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

Lời giải:

Ta có: $\frac{a}{b+c}=\frac{a^2}{ab+ac}\geq \frac{a^2}{ab+bc+ca}$

Suy ra $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}$

Ơ khoan... thế thì đẳng thức xảy ra khi nào?


"WHEN YOU HAVE ELIMINATED THE IMPOSSIBLE, WHATEVER REMAINS, HOWEVER IMPROBABLE, MUST BE THE TRUTH"

-SHERLOCK HOLMES-             





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh