Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangkimca2k2]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )$

[tr2512]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{1}{2}\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right )$

Đề là $\frac{1}{2}$ hay $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ vậy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 13-04-2018 - 18:07

[Arthur Pendragon]

Bđt cần cm tương đương:

$\sum\frac{a}{\sqrt{(b+c)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}} \geq \sum \frac{a}{\sqrt{(b+c)3(a+b+c)}} \geq \sum \frac{2\sqrt{2}a}{2\sqrt{[3(b+c)][2(a+b+c)]}} \geq \sum\frac{2\sqrt{2}a}{2a+5b+5c}$

$=\sqrt{2}\sum\frac{a^2}{2a^2+5ab+5ac}$

$\geq 2\sqrt{2}\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+10(ab+bc+ca)}$

$\geq 2\sqrt{2}\frac{(a+b+c)^2}{4(a+b+c)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$