Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=2$
Chứng minh rằng: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\leq 2$
Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=2$
Chứng minh rằng: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\leq 2$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
Giả sử $a\,=\, \min\, {\,a, b, c\,}$
Khi đó, ta có:
$$\prod\, (b^{2}+c^{2})\,\leq \, (b^{2}+c^{2})\,\,b\,(a+b)\,\,c\,(a+c)$$
Phải, ta sẽ chứng minh:
$$(b^{2}+c^{2})\,\,b\,(a+b)\,\,c\,(a+c)\,\leq \, 2$$
Sử dụng bất đẳng thức AM _ GM, ta có:
$$4\,bc\,\,(a+b)\,\,(a+c)\,\,(b^2+c^2)\,\,\le\,\, \left[\,\frac{2b\,(a+c)\,+\,2c\,(a+b)\,+\,(b^2+c^2)}{3}\,\right]^3$$
Giờ đây, chỉ cần chứng minh $b^2+c^2+4\,bc+2\,ab+2\,ac\,\le\, 6$ là xong.
hay:
$$2\,(b^{\,2}+c^{\,2}+4\,bc+2\,ab+2\,ac)\,\leq \,3\,(a+b+c)^{\,2}$$
Đúng do $\Delta _{\,a}\,=\, -\,8(\,b^{2}\,-\,4\,bc\,+\,c^{\,2}\,)$ và $\Delta _{\,b}\,=\, 768\, c^{\,2}$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh