Đến nội dung

Hình ảnh

$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\leq 2$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=2$

 

Chứng minh rằng: $(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\leq 2$


$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#2
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Giả sử $a\,=\, \min\, {\,a, b, c\,}$

 

Khi đó, ta có:

 

$$\prod\, (b^{2}+c^{2})\,\leq \, (b^{2}+c^{2})\,\,b\,(a+b)\,\,c\,(a+c)$$

 

Phải, ta sẽ chứng minh:

 

$$(b^{2}+c^{2})\,\,b\,(a+b)\,\,c\,(a+c)\,\leq \, 2$$

 

Sử dụng bất đẳng thức AM _ GM, ta có:

 

$$4\,bc\,\,(a+b)\,\,(a+c)\,\,(b^2+c^2)\,\,\le\,\, \left[\,\frac{2b\,(a+c)\,+\,2c\,(a+b)\,+\,(b^2+c^2)}{3}\,\right]^3$$

 

Giờ đây, chỉ cần chứng minh $b^2+c^2+4\,bc+2\,ab+2\,ac\,\le\, 6$ là xong.

 

hay:

 

$$2\,(b^{\,2}+c^{\,2}+4\,bc+2\,ab+2\,ac)\,\leq \,3\,(a+b+c)^{\,2}$$

 

Đúng do $\Delta _{\,a}\,=\, -\,8(\,b^{2}\,-\,4\,bc\,+\,c^{\,2}\,)$ và $\Delta _{\,b}\,=\, 768\, c^{\,2}$

 

 

 

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh