Chủ đề này có 4 trả lời

[Khoa Linh]

Cho các số dương $x, y, z$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{6}{x+y+z}\geq 5$

[HelpMeImDying]

Ta chứng minh: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{6}{x+y+z}\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{6}{x+2\sqrt{yz}}\Leftrightarrow (\sqrt{y}-\sqrt{z})^{2}(\frac{1}{\sqrt{yz}}-\frac{6}{(x+y+z)(x+2\sqrt{yz})})$

Bđt đúng do $\frac{6}{(x+y+z)(x+2\sqrt{yz})}< \frac{6}{3\sqrt[3]{xyz}.2\sqrt{yz}}= \frac{1}{\sqrt{yz}}$

Giờ ta chứng minh: $\frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{6}{x+2\sqrt{yz}}\geq 5$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x}+2\sqrt{x}+\frac{6\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+2}\geq 5\Leftrightarrow 2x^{3}-5x^{2}\sqrt{x}+11x\sqrt{x}-5x+2\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^{2}(2x^{2}+4x\sqrt{x}-4x-\sqrt{x}+2)\geq 0$ (đúng)

[Kylie Nguyen]

Bạn ơi cái dòng đầu tiên sai rồi

cô si dưới mẫu thì bị đổi chiều chứ? cái chỗ 6/x+y+z ấy

[HelpMeImDying]

Bạn ơi cái dòng đầu tiên sai rồi

cô si dưới mẫu thì bị đổi chiều chứ? cái chỗ 6/x+y+z ấy

Chỗ đó là biến đổii tương đương chứ có phải Côsi đâu bạn

[Kylie Nguyen]

Ta chứng minh: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{6}{x+y+z}\geq \frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{6}{x+2\sqrt{yz}}\Leftrightarrow (\sqrt{y}-\sqrt{z})^{2}(\frac{1}{\sqrt{yz}}-\frac{6}{(x+y+z)(x+2\sqrt{yz})})$

Bạn ơi hình như đây phải là 1/yz-6/... chứ k phải căn yz