Chủ đề này có 2 trả lời

[doraemon123]

Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh

$\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq \frac{7}{2}$

[doraemon123]

Cho a,b,c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh

$\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq \frac{7}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử a=max{a,b,c}

Ta có: $\frac{1+a^2}{1+b^2}=\frac{(a^2+1)(b^2+1-b^2)}{b^2+1}=a^2+1-\frac{b^2(1+a^2)}{b^2+1}\leq a^2+1-\frac{b^2(1+a^2)}{2}$

Cmtt: $\frac{1+b^2}{1+c^2}\leq b^2+1-\frac{c^2(b^2+1)}{2};\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq c^2+1-\frac{a^2(c^2+1)}{2}$

Cộng vế theo vế ta được: $\frac{1+a^2}{1+b^2}+\frac{1+b^2}{1+c^2}+\frac{1+c^2}{1+a^2}\leq 3+a^2+b^2+c^2-\frac{a^2(b^2+1)+b^2(c^2+1)+c^2(a^2+1)}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2-(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)}{2}+3\leq \frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)}{2}+3=\frac{7}{2}$

Dấu ''='' xảy ra khi a=1; b=c=0

[KietLW9]

$\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leq \frac{7}{2}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học