Chủ đề này có 271 trả lời

[Korkot]

Góp cho TOPIC một số bài:

119. Tìm số $p$ nguyên tố để $\frac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên.

120. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho :

$f(p)= (2+3)-(2^2+3^2)+(2^3+3^3)-...-(2^{p-1}+3^{p-1})+(2^p+3^p)$

chia hết cho 5

121.Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì số 

$A= (3^n+n^3)(3^n.n^3+1)$

hoặc chia hết 49, hoặc không chia hết 7$

Bài 119 là bài 78 trong topic mình xin bổ sung thêm rằng pt 2x³-y³=3 cũng tồn tại một nghiệm khác là x=4,y=5 thay vào tính được p=127

Bài 120 Với SNT p>2 thì p lẻ và p-1 chẵn. Xét tất cả hệ số có mũ lẻ trong f(p) thì chúng đều chia hết cho 5(hay 2^x+3^x chia hết cho 5 với x lẻ)

Một số n chẵn nếu chia 4 dư hai thì 2ⁿ và 3ⁿ chia 5 dư 4. (dùng đồng dư nhưng mình không biết gõ )

Một số n chẵn nếu chia hết cho 4 thì 2ⁿ và 3ⁿ chia 5 dư 1.

Từ đó ta thấy trong dãy số các cặp số 2^4k+2 + 3^4k+2 +2^4k+4+3^4k+4 chia hết cho 5.

Vậy để f(p) chia hết cho 5 thì p là SNT dạng 4k+1 

Bài 121 Ở đây ta chỉ cần cm nếu A chia hết cho 7 thì A chia hết cho 49.

Xét 3ⁿ+n³ chia hết cho 7. 1 số lập phương khi chia 7 có thể nhận các số dư 0,1,6. Mà 3ⁿ không chia hết cho 7 nên ta chỉ xét n³ chia 7 dư 1,6.

Với n³ chia 7 dư 1 thì 3ⁿ chia 7 dư 6 và ngược lại nên 3ⁿ.n³ chia 7 luôn dư 6 hay  3ⁿ.n³+1 chia hết cho 7

=> A chia hết cho 49

Xét 3ⁿ.n³+1 chia hết cho 7 thì cm ngược lại

Bài 114 thì đúng như bạn Tea Coffee nói không tồn tại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 27-04-2018 - 20:09

[Korkot]

Lâu lâu góp 1 bài cho vui.

Bài 122: Tìm nghiệm nguyên của pt x³-x²y +2x-3y-5=0

[Kylie Nguyen]

Lâu lâu góp 1 bài cho vui.

Bài 122: Tìm nghiệm nguyên của pt x³-x²y +2x-3y-5=0

Rút y theo x y=$\frac{x^{3}+2x-5}{x^{2}+3}=x-\frac{x+5}{x^{2}+3}$

do x,y nguyên nên x+5 chia hết cho $x^{2}$+3

suy ra $x^{2}$-25 chia hết cho $x^{2}$+3...

[NguyenHoaiTrung]

Tìm tất cả số nguyên dương $x,y$ thỏa $x^2+1 \vdots y$ và $y^3+1 \vdots x^2$

[YoLo]

Bài 107:Cho a,b,c,d là các số tự nhiên sao cho $b^{2}+1=ac,c^{2}+1=bd$. Chứng minh rằng a=3b-c, d=3c-b

Thấy bài này có vẻ hay , mà chưa thấy ai giải

từ giả thiết suy ra $a,b,c,d$ là số nguyên dương

giả sử $a+c$ chia $b$ dư $r$ => $a+c=bm+r$

=> $b^{2}+1=c(mb+r-c)$

=> $b^{2}+c^{2}-mbc+1=rc$

mà theo gt ta có $b\mid c^{2}+1;c\mid b^{2}+1$

=> $bc\mid b^{2}+c^{2}+1=>rc\mid bc=>r\mid b=>r=0$ (vì r<b)

=> $b^{2}+c^{2}+1-mbc=0$ có nghiệm nguyên dương $(b;c)$ với m nguyên dương

Theo nguyên lý cực hạn tồn tại bộ nghiệm $(b_{0};c_{0})$ mà $b_{0}+c_{0}$ là nhỏ nhất

ta thấy $(b_{0};c_{0})$ là 1 nghiệm của PT thì $(c_{0};b_{0})$ cũng là nghiệm của PT . KMTTQ giả sử $b_{0}\geq c_{0}$

=> $b_{0}$ là 1 nghiệm của PT bậc 2 

  $b^{2}-b.mc_{0}+c_{0}^{2}+1=0$  (1)

=> PT (1) còn 1 nghiệm khác là $b_{1}$ theo giả sử như trên thì $b_{1}+c_{0}\geq b_{0}+c_{0}=> b_{1}\geq b_{0}$

AD Vi-ét ta có

$b_{1}+b_{0}=mc_{0};b_{1}b_{0}=c_{0}^{2}+1$

Từ đây suy ra $b_{0},b_{1}$ đều là số nguyên dương

$c_{0}^{2}=b_{1}b_{0}-1\leq b_{0}^{2}(b_{0}\geq c_{0})$

Nếu $b_{1}=b_{0}=>b_{0}^{2}=c_{0}^{2}+1=>m=...$

Nếu $b_{1}>b_{0}=>b_{1}b_{0}-1>(b_{0}-1)^{2}$=>$c_{0}^{2}$ là scp và bị kẹp giữa 2 SCP liên tiếp => $b_{0}=c_{0}$

=>$m=3$

m=3,r=0=>$a+c=3b$

 tương tự với cái còn lại

P/s: Đánh LaTex bài này xong mà muốn gãy tay,

Mà bài 98.99.100 mk đăng ko ai giải ah

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 29-04-2018 - 20:47

[souhh]

Bài 124: Cho $a;b\in Q^{+}$ sao cho $a^{3}+4a^{2}b=4a^{2}+b^{4}$

Chứng minh: $\sqrt{a}-1$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.

[PhanThai0301]

Mính xin đề xuất 1 số bài về số nguyên tố để mọi người luyện tập .

Bài 125: CMR nếu n là hợp số thì $2^{n}-1$ cũng là hợp số.

Bài 126: Cho n là số thự nhiên (n>0). Giả sử $2^{n}+1$ là 1 số nguyên tố. Hãy CMR n là một lũy thừa của 2.

Bài 127: CMR tồn tại vô số số nguyên dương a sao cho z=$n^{4}+a$ không là số nguyên tố với mọi n nguyên dương.

Bài 128: Tìm các số tự nhiên n sao cho: n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 và n+15 đều là các số nguyên tố.

Bài 129: Cho số A= $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$. CMR A là 1 hợp số.

Bài 130: CMR với mọi số tự nhiên n>0 thì $19.8^{n}+17$ là hợp số.

Bài 131: Tìm tất cả các số nguyên tố P có dạng: P=$n^{n}+1$, trong đó n là 1 số nguyên dương. Biết P có không nhiều hơn 19 chữ số.

Bài 132: Cho n số nguyên dương lớn hơn 5. CMR trong dãy n+1, n+2, . . ., n+30 có nhiều nhất 8 số nguyên tố.

Bài 133: Cho m, n là các số nguyên. CMR mn($m^{30}-n^{30}$) chia hết cho 14322.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 01-05-2018 - 15:46

[datbadao]

Bài 124: Cho $a;b\in Q^{+}$ sao cho $a^{3}+4a^{2}b=4a^{2}+b^{4}$

Chứng minh: $\sqrt{a}-1$ là bình phương của 1 số hữu tỉ.

Từ giả thiết suy ra $(a\sqrt{a}+2b\sqrt{a})^{2}=(2a+b^{2})^{2}$

  Mà a,b dương nên có$\sqrt{a}$=$\frac{2a+b^{2}}{a+2b}$ là một số hữu tỉ

Đặt $\sqrt{a}$=x$\in \mathbb{Q}$ biến đổi thành

 $b^{2}-2bx+2x^{2}-x^3=0$

có $\Delta =x^{2}(x-1)$ là bình phương của một số hữu tỉ

suy ra x-1 là bình phương một số hữu tỉ (ĐPCM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datbadao: 30-04-2018 - 22:51

[Korkot]

Bài 134: Tìm nghiệm nguyên của pt (x+y)(x+2y)=x+5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 01-05-2018 - 10:48

[Korkot]

Mính sẽ đề xuất 1 số bài về số nguyên tố để mọi người luyện tập .

Bài 125: CMR nếu n là hợp số thì $2^{n}-1$ cũng là hợp số.

Bài 126: Cho n là số thự nhiên (n>0). Giả sử $2^{n}+1$ là 1 số nguyên tố. Hãy CMR n là một lũy thừa của 2.

Bài 127: CMR tồn tại vô số số nguyên dương a sao cho z=$n^{4}+a$ không là số nguyên tố với mọi n nguyên dương.

Bài 128: Tìm các số tự nhiên n sao cho: n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 và n+15 đều là các số nguyên tố.

Bài 129: Cho số A= $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$. CMR A là 1 hợp số.

Bài 130: CMR với mọi số tự nhiên n>0 thì $19.8^{n}+17$ là hợp số.

Bài 131: Tìm tất cả các số nguyên tố P có dạng: P=$n^{n}+1$, trong đó n là 1 số nguyên dương. Biết P có không nhiều hơn 19 chữ số.

Bài 132: Cho n số nguyên dương lớn hơn 5. CMR trong dãy n+1, n+2, . . ., n+30 có nhiều nhất 8 số nguyên tố.

Bài 132: Cho m, n là các số nguyên. CMR mn($m^{30}-n^{30}$) chia hết cho 14322.

Bài 126:Giả sử điều ngược lại thì $n=2^a.b$ với b lẻ

Từ đó ta có $2^n+1=(2^{2^a})^b+1$

Vì b lẻ nên $(2^{2^a})^b+1$ chia hết cho $2^{2^a}+1$ nên biểu thức ko phải hợp số nên ta có đpcm

Bài 125: n là hợp số nên n có dạng a.b với a là 1 số nguyên tố lẻ hoặc n có dạng $2^x$ với x>1

xét TH thứ nhất thì $2^n-1= (2^b)^a-1$ chia hết cho $2^b+1 >1$ với a lẻ 

xét TH thứ hai thì $2^n-1= 4^{x-1}-1$ chia hết cho 3 với mọi x>1

Từ đó ta có đpcm.

Bài 130 không cần n>0 đâu. 

Xét n chẵn.Ta có $BT= 9(8^n+1)+9.8^n+8^n+8$ (BT ý chỉ biểu thức ở đề nha)

Với n chẵn thì $8^n$ chia 9 dư 1 nên $8^n+8$ chia hết cho 9

$\Rightarrow$ BT là 1 hợp số chia hết cho 9

Xét n lẻ có dạng 4k+1. Ta có $BT=13.8^n +6.8^n+13 +4$ 

Với n=4k+1 thì $8^n$ chia 13 dư 8 ($8^4 chia 13 dư 1)

$\Rightarrow 6.8^n+4$ chia hết cho 13 nên Bt là hợp số chia hết cho 13

Xét n lẻ dạng 4k+3 thì $BT= 15.8^n+15+4.8^n+2$

Với n=4k+3  $8^n$ chia 5 dư 2 (xét chữ số tận cùng) nên $4.8^n+2 \vdots 5 $ nên BT là hợp số chia hết cho 5

$\Rightarrow$ kết luận 

Bài 133: Trước hết ta cm với x nguyên không chia hết cho 2,3,7,11,31 thì $x^{30}$ khi chia cho các số trên đều dư 1 (Áp dụng định lý Fermat nhỏ là ra) (1)  Từ đó , nếu $mn \vdots 14322$ thì ta có đpcm

Xét TH ngược lại thì 14322=2.3.7.11.31. Vì mn không chia hết cho 14322 nên m,n đều không chia hết các số trong bộ 2,3,7,11,31 ( không nhất thiết phải là tất cả các số )

Từ (1) thì $m^{30}-n^{30}$ sẽ chia hết cho các số mà m,n không chia hết trong bộ 2,3,7,11,31

$\Rightarrow (m^{30}-n^{30})mn \vdots 2.3.7.11.31=14322$

P/s anh Yolo post lời giải bài 98,99,100 hộ chúng em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 01-05-2018 - 12:29

[Sudden123]

Mính sẽ đề xuất 1 số bài về số nguyên tố để mọi người luyện tập .
Bài 125: CMR nếu n là hợp số thì $2^{n}-1$ cũng là hợp số.
Bài 126: Cho n là số thự nhiên (n>0). Giả sử $2^{n}+1$ là 1 số nguyên tố. Hãy CMR n là một lũy thừa của 2.
Bài 127: CMR tồn tại vô số số nguyên dương a sao cho z=$n^{4}+a$ không là số nguyên tố với mọi n nguyên dương.
Bài 128: Tìm các số tự nhiên n sao cho: n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 và n+15 đều là các số nguyên tố.
Bài 129: Cho số A= $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$. CMR A là 1 hợp số.
Bài 130: CMR với mọi số tự nhiên n>0 thì $19.8^{n}+17$ là hợp số.
Bài 131: Tìm tất cả các số nguyên tố P có dạng: P=$n^{n}+1$, trong đó n là 1 số nguyên dương. Biết P có không nhiều hơn 19 chữ số.
Bài 132: Cho n số nguyên dương lớn hơn 5. CMR trong dãy n+1, n+2, . . ., n+30 có nhiều nhất 8 số nguyên tố.
Bài 132: Cho m, n là các số nguyên. CMR mn($m^{30}-n^{30}$) chia hết cho 14322.

131:có :$20^{20}=2^{20}.10^{20}$
Mà P= $2^n+1$ Có ít hơn 20 chữ số
=> $n<20$
$n=1 => P=2 $ (thỏa mãn)
$n=2=> P=5 $ (thỏa mãn)
$n>2=> P>5$
P lẻ => n chẵn
Chứng minh $n$ ko thể có ước nguyên dương lẻ
Cm bằng cách =_= giả sử $n=(2k+1)k$
Khi đó $n^n= (n^k+1)Q$
$Q>1$
=> chỉ cần xét nốt $n=4/8/6$
~~ thay vào

[Korkot]

Bài 132: Cho n số nguyên dương lớn hơn 5. CMR trong dãy n+1, n+2, . . ., n+30 có nhiều nhất 8 số nguyên tố.

Trong 30 số trên có 15 số chẵn >2. Xét 15 số lẻ còn lại gồm n+x,n+x+2,...n+x+28 (x<3)

Trong 15 số này, xét 3 số hạng đầu của dãy hiển nhiên có 1 số $n+a \vdots  3$ (a<6)

Từ đó bất kì số dạng n+a+6k đều chia hết cho 3. Dãy có 15 số nên sẽ có 5 số chia hết cho 3.

Xét 10 số còn lại thì hiển nhiên tồn tại 2 số chia hết cho 5

Vậy trong 30 số trên chỉ còn 8 số không chia hết cho 2,3,5 nên ta có đpcm

Bài 128: Tìm các số tự nhiên n sao cho: n+1, n+3, n+7, n+9, n+13 và n+15 đều là các số nguyên tố.

Để các số trên là SNT thì n phải là số chẵn nên chữ số tận cùng của n là 0,2,4,6,8

Xét n=4 thỏa yêu cầu đề bài và n=2 không thỏa

Xét n>4 ta có

Tận cùng của n là 0 thì $n+15 \vdots  5$

Tận cùng của n là 2 thì $n+13 \vdots  5$

Tận cùng của n là 4 thì $n+1 \vdots  5$

Tận cùng của n là 6 thì $n+9 \vdots  5$

Tận cùng của n là 8 thì $n+7 \vdots  5$

Vậy không tồn tại n>4 thỏa yều cầu

Vậy n=4 là số cần tìm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 01-05-2018 - 13:51

[PhanThai0301]

Bài 125: n là hợp số nên n có dạng a.b với a là 1 số nguyên tố lẻ hoặc n có dạng $2^x$ với x>1

xét TH thứ nhất thì $2^n-1= (2^b)^a-1$ chia hết cho $2^b+1 >1$ với a lẻ 

xét TH thứ hai thì $2^n-1= 4^{x-1}-1$ chia hết cho 3 với mọi x>1

Từ đó ta có đpcm.

  Ta có thể giải bài 125 đơn giản hơn như sau:

  Giả sử p là ước nguyên tố lẻ của n và $p\leq n$.

  Đặt n=p.q($q\geq 1$).

  Ta có: $2^{n}+1=2^{pq}+1=(2^{q})^{p}+1\vdots (2^{q}+1)$.

  Mà $0<2^{q}+1<2^{n}+1$ =>  $2^{n}+1$ là hợp số.

  Vậy để $2^{n}+1$ là số nguyên tố thì n phải là lũy thừa của 2.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 01-05-2018 - 15:53

[tnk10a1]

bài 133: chứng minh rằng tồn tại k sao cho k! có 4 chữ số đầu tiên là 2018

bài 144: tồn tại hay không một dãy x₁ <x₂ < ... sao cho tổng của 2 số bất kì trong dãy nguyên tố cùng nhau với tổng của 3 số bất kì trong dãy

[Korkot]

Bài 145:Tìm các số tự nhiên a,b sao cho ab+a và ab+b là số chính phương. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 01-05-2018 - 21:15

[tnk10a1]

Bài 144. Tồn tại 1 dãy thỏa yêu cầu đề bài như sau: 3,4,6,8,10

dãy vô hạn mà

[MarkGot7]

Bài 136: Cho đồ thị hàm số $(P): y= x^{2}$

 Lấy 3 điểm $M(a;a^{2}); N(b;b^{2});P(c;c^{2}) \epsilon (P)$

thỏa mãn: $a^{2}-b= b^{2}-c= c^{2}-a.$ Tính giá trị của biểu thức:

 $P= (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)$

[MoMo123]

Đóng góp cho topic
Bài 137: Tìm hai số chính phương khác nhau $a_{1}a_{2}a_{3}a_{4} $ và $b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}$ thỏa mãn điều kiện $ a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=a_{4}-b_{4}$
Bài 138: Cho $\bar{abcd}$ và$ \bar{dcba} $ là 2 số chính phương khác nhau có 4 chữ số và $ \bar{dcba} \vdots \bar{abcd}$. Tìm hai số ấy
Bài 139: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ , sao cho $2^{11p} -2$ chia hết cho $11p$
Bài 140: Tìm tất cả các số nguyên tố có 4 chữ số có 4 chữ số $\bar{abcd} $ sao cho $\bar{ab}; \bar{ac}$ là các số nguyên tố và $b^2=\bar{cd}+b-c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 01-05-2018 - 23:13

[Lao Hac]

141:

Tính 

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}$

[dat102]

141:

Tính 

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}}$

Đặt $x=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}$

Ta có: $x^2=6+x$    (ĐK: $x>0$)

Suy ra $x=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat102: 01-05-2018 - 22:17