Như vậy bước đầu của topic khá mĩ mãn, mình xin đề xuất tiếp:
14) Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=xyz$.CMR $x^{3}+y^{3}+z^{3}\vdots x+y+z+2$
Không biết đề có sai không nhưng với x=1;y=2;z=3 thì không thỏa mãn
Như vậy bước đầu của topic khá mĩ mãn, mình xin đề xuất tiếp:
14) Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=xyz$.CMR $x^{3}+y^{3}+z^{3}\vdots x+y+z+2$
Không biết đề có sai không nhưng với x=1;y=2;z=3 thì không thỏa mãn
Bạn conankun ơi, hình như bài 1 là suy ra 1-2ab=0 suy ra vô nghiệm luôn chứ
Cảm ơn bạn nhiều!
$\large \mathbb{Conankun}$
Như vậy bước đầu của topic khá mĩ mãn, mình xin đề xuất tiếp:
14) Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=xyz$.CMR $x^{3}+y^{3}+z^{3}\vdots x+y+z+2$
Mk xin được làm bài này:
Ta có: $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)xy-3z(x+y)(x+y+z)=(x+y+z)^3-3xy(x+y+z)-3z(x+y)(x+y+z)+3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz=(x+y+z)\frac{xyz}{2}+3xyz=\frac{xyz}{2}(x+y+z+6)$
P/s: Mk nghĩ bài toán phải chữa thành $x^3+y^3+z^3\vdots x+y+z+6$ mới đúng.
Bạn thử đưa ra một số liệu cụ thể thử xem sao!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 16-04-2018 - 18:39
$\large \mathbb{Conankun}$
Nếu x=1, y=2,z=3 thì 1+2+3-6=0 thì sai rồi bạnMk xin được làm bài này:
Ta có: $x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y)xy-3z(x+y)(x+y+z)=(x+y+z)^3-3xy(x+y+z)-3z(x+y)(x+y+z)-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz=(x+y+z)\frac{xyz}{2}-3xyz=\frac{xyz}{2}(x+y+z-6)$
P/s: Mk nghĩ bài toán phải chữa thành $x^3+y^3+z^3\vdots x+y+z-6$ mới đúng.
Bạn thử đưa ra một số liệu cụ thể thử xem sao!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 16-04-2018 - 18:40
$\sqrt{MF}$ math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$
Nếu x=1, y=2,z=3 thì 1+2+3-6=0 thì sai rồi bạn
Mk sửa rồi bạn ơi. (Chưa kịp kiểm tra )
$\large \mathbb{Conankun}$
Xin được đóng góp cho TOPIC một vài bài
15) Tìm $n\in N , n \neq 0 , n$ nhỏ nhất để
$\frac{(n+1)(4n+3)}{3}$
là số chính phương
16) Giả sử $x$ và $y$ là 2 số nguyên khác $-1$ sao cho
$\frac{x^3+1}{y+1}+\frac{y^3+1}{x+1}$
là một số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2004}-1 \vdots y+1$
17)Tìm bảy số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừa bậc 6 của 7 số đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 16:55
Xin được đóng góp cho TOPIC một vài bài
16) Giả sử $x$ và $y$ là 2 số nguyên khác $-1$ sao cho
$\frac{x^3+1}{y+1}+\frac{y^3+1}{x+1}$
là một số nguyên. Chứng minh rằng $x^{2004}-1 \vdots y+1$
Lời giải:
Ta đặt $\frac{x^3+1}{y+1}=\frac{a}{b};\frac{y^3+1}{x+1}=\frac{c}{d}$ trong đó $a,b,c,d\in \mathbb{Z};(a,b)=1;(c,d)=1$
Theo giả thiết ta có: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\in \mathbb{Z}\Rightarrow ad+bc\vdots bd\Rightarrow ad+bc\vdots b\Rightarrow d\vdots b$ do (a,b)=1(1)
Mặt khác:
$\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=(x^2-x+1)(y^2-y+1)\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\vdots d$ do (c,d)=1(2)
Từ (1) và (2) ta có $a\vdots b\Rightarrow b=1\Rightarrow x^3+1\vdots y+1$
Dễ dàng chứng minh $x^{2004}-1\vdots x^3+1$ suy ra điều phải chứng minh.
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
17)Tìm bảy số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừa bậc 6 của 7 số đó
Giả sử 7 số nguyên tố cần tìm là $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6,p_7$.Theo đề bài ta có:
$p_1p_2p_3p_4p_5p_6p_7=p_1^6+p_2^6+p_3^6+p_4^6+p_5^6+p_6^6+p_7^6$
Giả sử trong các số đã cho có $k$ số khác $7 (0 \leq k \leq 7)$
+)Nếu $k=0$ thì $p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=p_7=7$ (thỏa mãn đề bài)
+)Nếu $k=7$ thì $VT \not \vdots 7$
Mặt khác, theo định lí Fermat nhỏ $p_i^6 \equiv 1 (mod 7)$ với $i \in (1;2;..;7) => VP \vdots 7$ => mâu thuẫn
+)Nếu $0<k<7$ thì $VT \vdots 7$ mà $VP \not \vdots 7 => $ mâu thuẫn
Vậy $p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=p_7=7$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 16-04-2018 - 19:42
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
$x^{2016}+y^{2016}=2017^{2015}(x^{15}+y^{4}+2018)$
Mình xin đưa ra lời giải bài toán này:
Từ phương trình trên thì ta thấy $x^{2016}+y^{2016}\vdots 2017$.
Đến đây ta lại để ý rằng 2017 là số nguyên tố nên theo Fermat thì $a^{2016}\equiv 1$ (mod 2017) $\Leftrightarrow (a,2017)=1$
Từ đó suy ra cả hai số x, y đều chia hết cho 2017
Khi đó vế trái $$x^{2016}+y^{2016}\vdots 2017^{2016}\Rightarrow 2017^{2015}(x^{15}+y^{4}+2018)\vdots 2017^{2016}\Leftrightarrow x^{15}+y^4+2018\vdots 2017$$
Điều này vô lý suy ra phương trình không có nghiệm nguyên
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
cho mk đóng góp bài này
1. Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1 thỏa mãn $n\mid 2^{n}+1$
Cmr $3\mid n$
2. Tìm tất cả p,q nguyên tố sao cho $pq\mid 2^{p}+2^{q}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 16-04-2018 - 22:31
Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi
Bài 18:Giải phương trình nghiệm nguyên:$\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$
Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên:
a, $x_{1}^{4}+ x_2^{4}+...+ x_{14}^{4}= 1599$
b, $x^{4}y^{3}(y-x)=x^{3}y^{4}- 216$ ( Nguồn: Đề Olympic Áo 2012)
Bài 20: Giả sử p là số nguyên tố sao cho cả hai nghiệm của phương trình:
$x^{2}+px-444p= 0$ là các số nguyên. Tìm p và các nghiệm của phương trình.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MarkGot7: 16-04-2018 - 21:42
Cuộc đời lắm chông gai thử thách. Chỉ khi ta cố gắng vượt qua, ta mới biết chân quý những thứ mình có được.
Theo đúng thứ tự thì đây là bài 19 và 20 , mong bạn sửa lại.
Bài 2: Giả sử p là số nguyên tố sao cho cả hai nghiệm của phương trình:
$x^{2}+px-444p= 0$ là các số nguyên. Tìm p và các nghiệm của phương trình
Phương trình có nghiệm nguyên => $\Delta = p^2+1776p$ là số chính phương.
Ta đặt $p^2+1776p=k^2 (k \in \mathbb{N})$
$<=>p(p+1776)=k^2$ mà $p$ là số nguyên tố $=> k \vdots p => k^2 \vdots p^2$
$=>p(p+1776) \vdots p^2 => 1776 \vdots p$
Mà $p$ là số nguyên tố, ta tìm được $p$ và thử lại tìm được các nghiệm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 16-04-2018 - 21:39
Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên:
a, $x_{1}^{4}+ x_2^{4}+...+ x_{14}^{4}= 1599$
b, $x^{4}y^{3}(y-x)=x^{3}y^{4}- 216$ ( Nguồn: Đề Olympic Áo 2012)
Bài 20: Giả sử p là số nguyên tố sao cho cả hai nghiệm của phương trình:
$x^{2}+px-444p= 0$ là các số nguyên. Tìm p và các nghiệm của phương trình.
Bài 19:
Ta có: $n^4$ chia 16 dư $0,1$ => $x_{1}^{4}+ x_2^{4}+...+ x_{14}^{4}$ chia 16 dư$ 0...14.$
Mà 1599 chia 16 dư 15 => không có giá trị nào T/m để ra.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 16-04-2018 - 22:27
$\large \mathbb{Conankun}$
cho mk đóng góp bài này
1. Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1 thỏa mãn $n\mid 2^{n}+1$
Cmr $3\mid n$
2. Tìm tất cả p,q nguyên tố sao cho $pq\mid 2^{p}+2^{q}$
Bạn ơi dấu | này là gì vậy?
$\large \mathbb{Conankun}$
Bạn ơi dấu | này là gì vậy?
Mình nghĩ là dấu chia hết đó bạn.
Cuộc đời lắm chông gai thử thách. Chỉ khi ta cố gắng vượt qua, ta mới biết chân quý những thứ mình có được.
Bài 21 :
Giải phương trình trên tập Z+ : a^3 + b^3 + c^3= (a+b+c)^2
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
Bài 22: Tìm số tự nhiên n cho n^2 - 2006n và 3^n + 4 là các số chính phương
Bài 23: a) Tìm số tư nhiên n nhỏ nhất để n^2 có bốn chữ số cuối là 6004
b) Cùng câu hỏi với n^2 có bốn chữ số cuối là 6435
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
Thêm bài nữa nha .
Bài 24: Có thể phân tích số 2006 thành tổng của 2 số a và b mà a gấp 3 lần một số chính phương và b gấp 7 lấn một số chính phương khác hay không?
Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh