Chủ đề này có 271 trả lời

[conankun]

Thêm bài nữa nha .

Bài 24: Có thể phân tích số 2006 thành tổng của 2 số a và b mà a gấp 3 lần một số chính phương và b gấp 7 lấn một số chính phương khác hay không?

Đặt $a=3x^2, b=7y^2$ Ta có: $3x^2+7y^2=2006$

Do $2006$ chia 7 dư 4 => $3x^2$ chia 7 dư 4(1)

Mặt khác: $x^2$ chia 7 dư 0,1,2,4 => $3x^2$ chia 7 dư 0,3,5,6(2)

Từ (1)(2) suy ra không có giá trị nào của a,b T/m đề ra./.

[Tea Coffee]

Tạm thời TOPIC chưa nhận bài mới sau khi các bạn giải hoàn tất các bài từ 15-23.

[Kylie Nguyen]

Bài 21 : 

Giải phương trình trên tập Z+ : a^3 + b^3 + c^3= (a+b+c)^2

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geqslant (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow 3<=a+b+c\leqslant 9$

sau đó xét từng trường hợp a+b+c 

[Tea Coffee]

Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên: 

b, $x^{4}y^{3}(y-x)=x^{3}y^{4}- 216$ ( Nguồn: Đề Olympic Áo 2012)

 

$PT<=>x^{3}y^{3}(xy-x^{2}-y)=-216$ xét ước là được.

Để ý $(xy)^{3}$ là ước của $216$ and là một số lập phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 16-04-2018 - 23:28

[Kylie Nguyen]

216 có đến 32 ước Tea Coffee a. Có cách nào ngắn hơn k

[conankun]

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geqslant (\frac{a+b+c}{3})^{3} \Rightarrow 3<=a+b+c\leqslant 9$
sau đó xét từng trường hợp a+b+c

Có cách nào ngắn hơn ko chứ như vậy thì có đến 6 TH ak

[Kylie Nguyen]

Phải xét 7 chứ nhỉ 

nhưng trường hợp =3 và =9 thì suy ra 3 cái bằng nhau =1 hoặc =3 rồi thử lại

5 cái còn lại giả sử x>=y>=z rồi tìm trực tiếp thôi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kylie Nguyen: 17-04-2018 - 00:23

[Kylie Nguyen]

Bài 22: Tìm số tự nhiên n cho n^2 - 2006n và 3^n + 4 là các số chính phương

 

Đặt $3^{n}+4=a^{2}$ với a là số nguyên dương

suy ra$ 3^{n}$=(a-2)(a+2)

suy ra a-2=$3^{m}$, a+2=$3^{k}$

suy ra 4=$3^{k} -3^{m}$

k tồn tại k,m thỏa mãn hay không tồn tại n thỏa mãn

Mình k chắc đúng k vì chưa sử dụng hết gt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kylie Nguyen: 17-04-2018 - 00:25

[Tea Coffee]

Xin được đóng góp cho TOPIC một vài bài

15) Tìm  $n\in N , n \neq 0 , n$ nhỏ nhất để

                                                                         $\frac{(n+1)(4n+3)}{3}$

là số chính phương

 

Cách lầy lầy của mình không biết có được không nhỉ:

Đặt $\frac{(n+1)(4n+3)}{3}=a^{2}(a\epsilon \mathbb{N}) <=>(n+1)(4n+3)=3a^{2}$

$=>\begin{bmatrix}n+1\vdots 3 \\ 4n+3\vdots 3 \end{bmatrix}$ do $3$ là SNT.

+)T/H1:$4n+3\vdots 3=>n=3k(k\epsilon \mathbb{N}^{*})$

$=>(3k+1)(12k+3)=3a^{2}<=> (3k+1)(4k+1)=a^{2}$

Do $(3k+1,4k+1)=1$ nên $3k+1,4k+1$ là SCP.

Đặt $4k+1=(2t+1)^{2}(t\epsilon \mathbb{N})<=>k=t(t+1)$

Để $n$ nhỏ nhất thì $t$ nhỏ nhất thỏa mãn $3k+1,4k+1$ là SCP là $t=7$

$=>k=56<=>n=168$

+)T/H2: $n+1\vdots 3=>n=3k+2(k\epsilon \mathbb{N})$

$=>(3k+3)(12k+11)=3a^{2}<=>(k+1)(12k+11)=a^{2}$

Do $(k+1,12k+11)=1$ nên $12k+11$ là SCP (vô lý do SCP không chia 12 dư 11)

Vậy $n=168$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 16-04-2018 - 23:56

[Kylie Nguyen]

$PT<=>x^{3}y^{3}(xy-x^{2}-y)=-216$ xét ước là được.

Để ý $(xy)^{3}$ là ước của $216$ and là một số lập phương

Vẫn còn 10 th bạn T nà ^-^

[Korkot]

Đặt $3^{n}+4=a^{2}$ với a là số nguyên dương

suy ra$ 3^{n}$=(a-2)(a+2)

suy ra a-2=$3^{m}$, a+2=$3^{k}$

suy ra 4=$3^{k} -3^{m}$

k tồn tại k,m thỏa mãn hay không tồn tại n thỏa mãn

Mình k chắc đúng k vì chưa sử dụng hết gt

Còn 1 th khá thú vị là a-2=1 và a+2= 3^k nhưng đáp án của bạn đúng rồi

[Korkot]

14) Cho x,y,zx,y,z là các số nguyên thỏa mãn (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=xyz(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=xyz.CMR x3+y3+z3⋮x+y+z+6

Từ gt ta có 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=xyz => xyz có dạng 2k

Vì x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2 +y^2+ z^2 -xy-yz-zx)+3xyz= (x+y+z)k+6k= k(x+y+z+6) 

Nên x^3+y^3+z^3 chia hết cho x+y+z+6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 17-04-2018 - 07:11

[Korkot]

Bài 19: Giải phương trình nghiệm nguyên: 

 a, $x_{1}^{4}+ x_2^{4}+...+ x_{14}^{4}= 1599$

b, $x^{4}y^{3}(y-x)=x^{3}y^{4}- 216$ ( Nguồn: Đề Olympic Áo 2012)

 

Bài 20: Giả sử p là số nguyên tố sao cho cả hai nghiệm của phương trình:

$x^{2}+px-444p= 0$ là các số nguyên. Tìm p và các nghiệm của phương trình.

Bài 20: (Máy không đánh được latex )

Delta= p^2+1776p là scp thì pt có 2 nghiệm nguyên

=> p(p+1776) là scp 

Đặt p=a^2, 1776+p=b^2=> 1776=(b-a)(b+a)

nhận xét b+a>b-a và b+a,b-a cùng tính chẵn lẻ rồi giải

[Korkot]

Có cách nào ngắn hơn ko chứ như vậy thì có đến 6 TH ak

Khi làm bài bạn chỉ cần ghi rằng : thế vào pt đầu bài ta thấy .. thỏa mãn  phải không?

[Kylie Nguyen]

Còn 1 th khá thú vị là a-2=1 và a+2= 3^k nhưng đáp án của bạn đúng rồi

1= $3^{0}$ mà bạn

[Korkot]

1= $3^{0}$ mà bạn

Khi đó bạn vẫn tìm được k nhưng thế vào không thỏa mãn

[Korkot]

cho mk đóng góp bài này

1. Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 1 thỏa mãn $n\mid 2^{n}+1$

Cmr $3\mid n$

2. Tìm tất cả p,q nguyên tố sao cho $pq\mid 2^{p}+2^{q}$

2 . Áp dụng định lý nhỏ fermat ta có: 2^p-2 chia hết cho p và 2^q- 2 chia hết cho q 

Vì p và q là 2 snt => 2^(pq) -2(2^p +2^q) +4 chia hết cho pq

=> 2^(pq)+4 chia hết cho pq

Số các số nguyên tố cùng nhau và nhỏ hơn pq là : pq-3( vì p,q là 2 snt)

=> 2^(pq-3)*8+4 chia hết cho pq

Theo định lý Euler thì 2^(pq-3) chia pq dư 1 nên nếu pq>8 thì 2^(pq-3)*8 chia pq dư 8

Mà 2^(pq) +4 chia hết cho pq nên 12 chia hết cho pq nhưng pq> 8 => vô lí

=> pq<8

Xét các snt có tích < 8 ta nhận p=2,q=2 ; p=3,q=2; p=2,q=3 làm nghiệm

P.S Bài cm của mình chỉ có thể dùng trong các kì thi chuyên toán riêng của các trường như ĐHKHTTN,ĐHSP còn thi chuyên thường thì không được

1. Ta cm bằng quy nạp rằng n có dạng 3^k

Với k=1 gt đúng

Giả sử gt đúng với k=n. Xét k=n+1 ta cần cm ₂3^k+1 ₊₁ chia hết cho n=3^k+1

Vì 3^k+1 là số lẻ nên ₂3^k+1 _{+1 =3(2}3^k+1-1 _- 23^k+1-2  _{+...+1) chia hết cho 3^k*3}

_=> (23^k+1-1 _- 23^k+1-2  _{+...+1) phải chia hết cho 3}k

Thật vậy, nếu ta cặp lần lượt các số hạng của dãy ₍₂3^k+1-1 _- 23^k+1-2  _+...+1)  và đặt nhân tử chung thì dãy sẽ có dang (2^k+1)a chia hết cho 3^k (gt quy nạp)

=> mệnh đề đúng với mọi k là số tự nhiên

=> n có dạng 3^k => n chia hết cho 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 17-04-2018 - 11:30

[Korkot]

Còn bài 18 ai giải được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 17-04-2018 - 11:01

[PhanThai0301]

Bài 18:Giải phương trình nghiệm nguyên:$\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$

 Bài này là câu 1 trong đề thi IMO Shortlist 2006.

 P/s: mình nghĩ các bạn nên ra những bài phù hợp với thi vào lớp 10 chuyên toán chứ đừng ra mấy bài kiểu đao to búa lớn thế này!

 Bài 25: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: $(x^{2}+1)(y^{2}+1)+2(x-y)(1-xy)=4(1+xy)$.

 Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện sau;

                              $\left\{\begin{matrix} x+y+z=abc & & \\a+b+c=xyz & & \\ a\geq b\geq c\geq 1;x\geq y\geq z\geq 1 & & \end{matrix}\right.$

                              

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 17-04-2018 - 11:46

[NguyenHoaiTrung]

Muốn gõ Latex thì đặt công thức toán giữa $ và  $ mà, bạn Korkot gõ khó nhìn quá.