Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] SỐ HỌC ÔN TẬP THPT CHUYÊN TOÁN 10 NĂM HỌC 2018-2019

số học ôn chuyên

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 271 trả lời

#141 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 471 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 20-04-2018 - 21:38

Bài 69: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 1$ và $k$ là số tự nhiên lẻ ta luôn có: $k^{2^{n}}-1\vdots 2^{n+2}$


  N.D.P 

#142 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-04-2018 - 21:45

Bài 55: Xác định các số nguyên a,b,c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho ta có thể phân tích biểu thức$ f(x)= x(x-a)(x-b)(x-c)+1$ thành tích 2 đa thức có bậc nhỏ hơn 4 và có các hệ số nguyên

 Phân tích f(x) thành 1 đa thức bậc 4 ta được f(x)= x4 - x3(a+b+c) + x2(ab+bc+ca) -abcx +1 

Ta thấy hệ số cao nhất của f(x) là 1 và hệ số tự do của f(x) cũng là 1

TH1: Ta phân tích f(x) thành (x2+dx+1)(x2+ex+1) với e,d nguyên => f(x)=x4+x3(d+e)+x2(ed+2) + x(e+d)+1 với mọi x

=> -(a+b+c)= e+d=-abc=> a+b+c= abc 

=> a=-1,b=-2,c=-3 hay a=1,b=2,c=3 (pt trên quá quen thuộc rồi)

 => ed= ab+bc+ca-2= 9

=> e=3,d=3 với a+b+c=6 và e=-3,d=-3 với a+b+c=-6

TH2: Phân tích f(x) thành (x3+nx2+mx+1)(x+1)=> f(x)= x4+(n+1)x3+(m+n)x2+(m+1)x+1 với mọi x

=> n+1=-a-b-c ; m+n=ab+bc+ca ; m+1=-abc

Từ các gt trên ta có ab+bc+ca=-abc-a-b-c-2

=> abc+a+b+c+ab+bc+ca+1=-1

=> (ab+1)(c+1)+ (a+b)(c+1) =-1

=> (ab+1+a+b)(c+1)=-1

=> (a+1)(b+1)(c+1)=-1

Giải ta được a=-2,b=0.c=0 ; a=b=c=-2 và các hoán vị

Xét a=-2,b=0,c=0 => n=1;m=-1 (thỏa)

Xét a=b=c=-2 => n=5; m=7 (thỏa)

=> kết luận

P/s  Mình post 56 bài  nhưng trong cuốn sách không ghi lời giải nên mình đang bí :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 20-04-2018 - 22:26

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#143 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-04-2018 - 21:51

Lâu lâu mới lại up bài lên box thcs; cho bài chấy chấy tí  :D

Bài 67: Cho $n;k$ là hai số tự nhiên thỏa:

$1=\underbrace{\phi(\phi(\phi(...\phi(n))))}_{k}$

Chứng minh $n\le 3^{k}$

Với $\phi(n)$ là số số nguyên dương nhỏ hơn $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$

Nếu đề không sai mình xin giải luôn

Từ gt ta thấy số số nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n là 1

(Vì  ϕ(n) nguyên và >= 1 với mọi n tự nhiên)

=> n=2 => nk < 3k


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 20-04-2018 - 22:03

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#144 nguyendangkhanh

nguyendangkhanh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Đã gửi 20-04-2018 - 21:56

         Đặt $n=3^{k}.m$ với (m;3)=1. Ta xét 2 trường hợp sau:

  • Nếu $n=3a+1(n\in N^{*})$.

          $1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3^{k}(3a+1)}+4^{3^{k}(3a+1)}=1+b^{3a+1}+b^{6a+2}(với b=2^{3^{k}})$.

          => $1+2^{n}+4^{n}=b(b^{6a+3}-1)+b^{2}(b^{3a}-1)+a^{2}+a+1\vdots (a^{2}+a+1)$ mà $1+2^{n}+4^{n}>a^{2}+a+1$.

          => A là hợp số.

  •  Nếu $n=3a+2$ thì cm tương tự A cũng là hợp số.

       => đpcm.

  Mình xin được đưa ra 1 số bài về số chính phương để mn luyện tập.

  47) Có tồn tai số nguyên dương k để $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.

  49) Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.

  48) 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?
        2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
                  $a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$=0. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?

  P/s: bài 48 dành cho chủ topic Tea Coffee hàng đã có chủ các bạn không giải nhé.

47)

Xét k lẻ thì k có dạng 2n+ 1 nên 2k +3k =4n .2+9n .3 đồng dư với 2 (mod 3)

nên 2k +3k  ko là số chính phương khi k lẻ

Xét k chẵn thì khi chia 4 luôn có dạng 4n hoặc 4n+2

với k=4n thì 2k +3k =16n +81n có tận cùng bằng 6+1=7 nên 2k +3k ko là số chính phương trong trường hợp này

với k=4n+2 thì 2k +3k =16n .4+81n .9 có tận cùng bằng 3 nê 2k +3k ko là số chính phương trong trường hợp này

- Vậy ko  tồn tại k nguyên dương để 2k +3k là số chính phương

P/S: mình ko biết letex toán học, sorry ae



#145 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-04-2018 - 22:02

Đề vẫn đúng em 

Bài 68: Cho $4$ số nguyên phân biệt $a,b,c,d$. Chứng minh rằng $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)\vdots 12$

Nếu a,b,c,d có 3 số cùng tính chẵn lẻ thì (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 4

Nếu a,b,c,d có 2 số chẵn, 2 số lẻ thì (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 4

Trong 4 số a,b,c,d chắc chắn có 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 (theo nguyên lí Dirichlet) hay (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 3

Mà (3,4)=1 => đpcm


  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#146 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 762 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 20-04-2018 - 23:10

Bài 69: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 1$ và $k$ là số tự nhiên lẻ ta luôn có: $k^{2^{n}}-1\vdots 2^{n+2}$

Ta chứng minh bằng quy nạp:

+) Với $n=1$

$=> k^{2^{n}} -1=k^{2}-1\vdots 8=2^{3}$ do $k$ lẻ.

+) Giả sử mệnh đề đúng với $n=a$

$=>k^{2^{a}}-1\vdots 2^{a+2}$

+) Với $n=a+1$

$k^{2^{a+1}}-1=k^{2^{a}.2}-1=(k^{2^{a}}-1)(k^{2^{a}}+1)\vdots 2^{a+2}.2=2^{a+3}$

Xong!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 20-04-2018 - 23:37

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#147 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 471 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp
  • Sở thích:...

Đã gửi 21-04-2018 - 15:40

Bài 70: Cho số tự nhiên $n\geq 2$ với $n$ nhỏ nhất nào để tìm được các số nguyên $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ thỏa mãn điều kiện sau:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}=2002$


  N.D.P 

#148 Minhnksc

Minhnksc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 301 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Các bạn biết là từ đâu rồi đấy :D
  • Sở thích:vinahey :V

Đã gửi 21-04-2018 - 15:40

Nếu đề không sai mình xin giải luôn

Từ gt ta thấy số số nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n là 1

(Vì  ϕ(n) nguyên và >= 1 với mọi n tự nhiên)

=> n=2 => nk < 3k

Sai rồi bạn ; thay $n=6;k=2$ vào đi; vẫn thỏa mãn mà.


:D :D :D
“Nhà khoa học không nghiên cứu tự nhiên vì việc đó có ích; Anh ta nghiên cứu nó vì anh ta thấy thích thú và anh ta thấy thích thú vì nó đẹp. Nếu tự nhiên không đẹp thì nó không đáng để biết, và cuộc sống không đáng để sống” :D :D :D

#149 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-04-2018 - 16:06

Bài 70: Cho số tự nhiên $n\geq 2$ với $n$ nhỏ nhất nào để tìm được các số nguyên $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ thỏa mãn điều kiện sau:

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}=2002$

Ta có 2002=2.7.11.13 

Từ việc phân tích 2002 thành thừa số nguyên tố ta thấy nếu không sử dụng thêm các số 1 và -1 thì $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}\leq a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$

Với n=5 thì ta có 2002+1+1-1-1= 2002.1.1.(-1).(-1)=2002

 Dựa vào cách phân tích ra thừa số nguyên tố của 2002, lập tổ hợp các bộ số có tích là 2002 ( không có 1 hoặc -1). Ta thấy tổng của chúng luôn <2002 (Tối đa 1003 với 2 số 1001 và 2). Khi đó n nhỏ nhất là 1001  để tổng 1 trong các tổng của các bộ số trên là 2002  .

=>n nhỏ nhất cần tìm là 5

Cảm ơn mduc123 đã giúp mình sửa sai.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 21-04-2018 - 21:55

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#150 mduc123

mduc123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:yêu thiên nhiên, cây cỏ

Đã gửi 21-04-2018 - 16:15

Ta có 2002=2.7.11.13 

Từ việc phân tích 2002 thành thừa số nguyên tố ta thấy nếu không sử dụng thêm các số 1 và -1 thì $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n} \leq a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$

Với n=5 thì ta có 2002+1+1-1-1= 2002.1.1.(-1).(-1)=2002

Xét lần lượt tổ hợp các bộ số không có 1 hoặc -1 mà tích =2002. Ta thấy tổng của chúng luôn <2002 (Tối đa 1003 với 2 số 1001 và 2). Vậy  khi đó n nhỏ nhất là  là 1001.

=>n nhỏ nhất cần tìm là 2002

em chưa hiểu lắm

Xét lần lượt tổ hợp các bộ số không có 1 hoặc -1 mà tích =2002. Ta thấy tổng của chúng luôn <2002 (Tối đa 1003 với 2 số 1001 và 2). Vậy  khi đó n nhỏ nhất là  là 1001

P/S: Với lại theo bài của anh thì n nhỏ nhất là bằng 5 chứ,vả lại lần sau anh có thể dùng Latex ,trình bày kĩ hơn không


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 21-04-2018 - 16:18


#151 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 606 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 21-04-2018 - 20:17

Bài 71: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: $x^5-27y^3=2x$


BLACKPINK IN YOUR AREA 


#152 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-04-2018 - 21:46

Bài 72 Tìm số nguyên dương x,y để xy-6x-6y-3997964=0

Bài 73 Tìm x biết $\overline{"từ cấm"(x-1)}=(x-1)^(x-2)$

P/s từ cấm là 3 chữ x và bạn nào sửa thành Latex được mình xin cảm ơn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 21-04-2018 - 21:57

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#153 lenadal

lenadal

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 161 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Lê Hồng Phong Nam Định
  • Sở thích:số học

Đã gửi 22-04-2018 - 00:21

Bài 73: Cho a,b,c là các số tự nhiên đồng thời là độ dài 3 cạnh tam giác.

CMR

 Nếu : $a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\vdots a+b$ và a+b là 1 số lẻ khi đó a+b là hợp số

p/s: Một bài toán khá hay!!!


Lê Đình Văn LHP    :D  :D  :D 

http://diendantoanho...150899-lenadal/


#154 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-04-2018 - 09:04

Bài 73: Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng

Thật vậy ta có thể giả sử a+b là số nguyên tố 

Theo giả thiết ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)-8abc \vdots a+b$

Hay $8abc \vdots a+b$. Lại có a+b là số lẻ nên gcd(a+b,8)=1

Do đó $abc \vdots a+b$ 

Mà a+b là số nguyên tố nên xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau: $a \vdots a+b$ hoặc $b \vdots a+b$ hoặc $c \vdots a+b$ (điều này là vô lí do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên max{a, b, c}< a+b)

Nên ta có điều giả sử là sai.

Vậy a+b phải là số nguyên tố


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 22-04-2018 - 09:29


#155 mduc123

mduc123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:yêu thiên nhiên, cây cỏ

Đã gửi 22-04-2018 - 16:17

Ta chứng minh $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ với mọi n thuộc $\mathbb{Z}^{+}$ bằng quy nạp:

  Với n=1 thì: $a_{1}= 1$ ( đúng với giả thiết).

Giả sử khẳng định trên đúng với mọi $n=k$

Xét $n= k+1$ ta có: $a_{k+1}= 2a_{k}- a_{k-1}+ 1= 2\frac{k(k+1)}{2}- \frac{k(k-1)}{2}+1$

                                               $= \frac{2k^{2}+ 2k-k+k-2}{2}= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$\Rightarrow$ Khẳng định đúng với mọi $n= k+1$ .

$\Rightarrow A_{n}= 4a_{n}a_{n+2}+1= \frac{4n(n+1)}{2}+\frac{(n+2)(n+3)}{2}+1$

                              $= n(n+1)(n+2)(n+3)+1 \Rightarrow A_{n}= (n^{2}+3n+1)^{2}$ $\rightarrow$ đpcm

P/S: Mình không biết bạn làm theo cách nào mà liên quan đến $a_{0}$ . Còn theo như cách của mình thì đề như vậy là ổn. Nếu được, bạn có thể nói ra cách làm của bạn được không, để cho mình xem với !!^^

 $a_{k+1}= 2a_{k}- a_{k-1}+ 1$,tức đề là  $a_{n+2}= 2a_{n+1}- a_{n}+ 1$ đó bạn:

Mình sau đấy xin giải bằng phương pháp có thể gọi là dài hơn chút,nhưng kết quả tự nhiên hơn.

Ta có:$a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+1$

          $a_{n+1}=2a_{n}-a_{n-1}+1$

                            ...

              $a_{3}=2a_{2}-a_{1}+1$

$\Rightarrow a_{n+2}-a_{n+1}=n+a_{2}-a_{1}=n+2$ (Cộng tất cả các vế với nhau)

Làm tương tự ta có:$a_{n+2}-a_{1}=2+3+...+n+2 \Rightarrow a_{n+2}=\frac{(n+3)(n+2)}{2}\Rightarrow 4a_{n} a_{n+2}+1=(n+3)(n+2)(n+1)n+1$ là số chính phương (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 22-04-2018 - 16:18


#156 mduc123

mduc123

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:yêu thiên nhiên, cây cỏ

Đã gửi 22-04-2018 - 17:40

Mình xin góp một bài 

Bài 74: (MCMC,1996) Cho ba số nguyên dương khác nhau x,y,z. Chứng minh $(x-y)^{5}+(y-z)^{5}+(z-x)^{5}\vdots 5(x-y)(y-z)(z-x)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 22-04-2018 - 17:42


#157 lenadal

lenadal

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 161 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Lê Hồng Phong Nam Định
  • Sở thích:số học

Đã gửi 22-04-2018 - 19:22

Số nguyên tố là một vấn đề khá hay được khai thác trong đề toán chuyên, nên sau đây là một chuỗi bài toán về số nguyên tố:

Bài 75: Tìm các số nguyên tố p,q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn 

   $\frac{pq}{p+q}=\frac{m^2+1}{m+1}$

Bài 76: Tìm số nguyên tố q,p sao cho: 

      $p^2-pq+q^3=27$

Bài 77:Cho p là số nguyên tố. tìm số nguyên dương k thỏa mãn:$k^2-pk=a^2$(a là một số nguyên)

Bài 78:Tìm p là số nguyên tố để: $\frac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương một số nguyên

Bài 79: TÌm số nguyên tố p để tồn tại x,y,n nguyên dương sao cho:

         $p^n=x^3+y^3$

Bài 80: CHứng minh rằng nếu $\overline{abc}$ là số nguyên tố thì $b^2-4ac$ không là số chính phương;

Bài 81; cHO p là số nguyên tố , x,y là số nguyên dương, Tìm p thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} p^2-1=2y(y+2)& & \\ p^2-1=2y(y+2) & & \end{matrix}\right.$

Bài 82: tiếp tục cập nhật 

P/s E xuanhoan có thể tham khảo nhé!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenadal: 22-04-2018 - 19:34

Lê Đình Văn LHP    :D  :D  :D 

http://diendantoanho...150899-lenadal/


#158 Korkot

Korkot

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-04-2018 - 20:31

Số nguyên tố là một vấn đề khá hay được khai thác trong đề toán chuyên, nên sau đây là một chuỗi bài toán về số nguyên tố:

Bài 75: Tìm các số nguyên tố p,q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn 

   $\frac{pq}{p+q}=\frac{m^2+1}{m+1}$

Bài 76: Tìm số nguyên tố q,p sao cho: 

      $p^2-pq+q^3=27$

Bài 77:Cho p là số nguyên tố. tìm số nguyên dương k thỏa mãn:$k^2-pk=a^2$(a là một số nguyên)

Bài 78:Tìm p là số nguyên tố để: $\frac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương một số nguyên

Bài 79: TÌm số nguyên tố p để tồn tại x,y,n nguyên dương sao cho:

         $p^n=x^3+y^3$

Bài 80: CHứng minh rằng nếu $\overline{abc}$ là số nguyên tố thì $b^2-4ac$ không là số chính phương;

Bài 81; cHO p là số nguyên tố , x,y là số nguyên dương, Tìm p thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} p^2-1=2y(y+2)& & \\ p^2-1=2y(y+2) & & \end{matrix}\right.$

Bài 82: tiếp tục cập nhật 

P/s E xuanhoan có thể tham khảo nhé!!!

Bài 80 tương tự bài 59 :)

Bài 75 : p=q thì giải pt tìm được m rồi suy ra p=q=2 hoặc p=q=5

Giả sử p>q>2 thì (pq,p+q)=1 và (m2+1,m+1)=<2

m=2k-1 thì $\frac{m^2+1}{m+1}=\frac{2k^2-2k+1}{k}$   là  phân  số  tối  giản  nên   pq=2k2-2k+1 và p+q=k . Ta có (p+q)2=k2>pq=2k2-2k+1 là điều vô lí (giải bất phương trình )

Do đó (m2+1,m+1)=1 Cmtt ta cũng có TH này vô lý => kết luận

Bài 77. Nếu p=k với p là snt ta có đpcm

Xét p khác k ta có k2-a2=pk => (k-a)(k+a)=pk

Vì k+a>k, k-a <k nên ta có k=1 và p=(k-a)(k+a)

Vì k-a<k+a nên ta có p=1+a, 1=1-a => p=1 ( vô lí)

=> kết luận
Bài 81 cần sửa đề 

Bài 78. Từ gt ta có (p+1)(p-2)=2a3 với a nguyên

   Ta thấy p=2 thỏa mãn pt  và p=3 không thỏa    . Xét p>3

Vì (p+1) và p-2 nguyên tố cùng nhau nên ta có p+1=2x3, p-2=y3(với x,y nguyên tố cùng nhau và xy=a)=>2x3-y3=3 . Ta cm được x=1,y=-1 là TH duy nhất thỏa mãn => p=-1 (loại) => kết luận

P/S còn hơn 1 tháng nữa là thi rồi ! Chúng ta sắp phải lo ôn thi nên chắc sẽ ít khi lên diễn đàn. Đây là thời khắc cuối cùng để giải cho xong những bài toán


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 22-04-2018 - 21:12

  Nếu bạn cứ tiếp tục ca thán về cùng một nỗi buồn, cùng một việc nhỏ nhặt, bạn sẽ mãi mãi chìm đắm trong thất bại và sống một  cuộc đời nhỏ bé. Hãy luôn nhớ rằng, ngay cả một ngày tồi tệ nhất cũng chỉ có 24 tiếng đồng hồ mà thôi.

                   :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like  :like 


#159 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-04-2018 - 20:43

Bài 76: Xét 2 trường hợp

Nếu $p\geq q$ từ giả thiết suy ra $q\leq 3$. Mà q là số nguyên tố nên q thuộc{2; 3}. Thử trực tiếp ta thu được (p, q)=(3, 3)

Nếu $p\leq q$ từ giả thiết suy ra $p\leq 5$. Mà p là số nguyên tố nên p thuộc{2, 3, 5}. Thử trực tiếp ta thu được (p, q)=(3, 3)

Vậy cặp số (p, q) thỏa mãn bài là (3, 3)

Bài 79: Gợi ý sử dụng nguyên lí cực hạn. ĐS: p=2 hoặc p=3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 22-04-2018 - 21:15


#160 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 22-04-2018 - 21:15

Bài 82: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn $p> q$ và $p^3-q^7=p-q$







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh