Chủ đề này có 271 trả lời

[mduc123]

Bài 80 tương tự bài 59

Bài 75 : p=q thì giải pt tìm được m rồi suy ra p=q=2 hoặc p=q=5

Giả sử p>q>2 thì (pq,p+q)=1 và (m²+1,m+1)=<2

m=2k-1 thì $\frac{m^2+1}{m+1}=\frac{2k^2-2k+1}{k}$   là  phân  số  tối  giản  nên   pq=2k²-2k+1 và p+q=k . Ta có (p+q)²=k²>pq=2k²-2k+1 là điều vô lí (giải bất phương trình )

Do đó (m²+1,m+1)=1 Cmtt ta cũng có TH này vô lý => kết luận

Bài 77. Nếu p=k với p là snt ta có đpcm

Xét p khác k ta có k²-a²=pk => (k-a)(k+a)=pk

Vì k+a>k, k-a <k nên ta có k=1 và p=(k-a)(k+a)

Vì k-a<k+a nên ta có p=1+a, 1=1-a => p=1 ( vô lí)

=> kết luận
Bài 81 cần sửa đề 

Bài 78. Từ gt ta có (p+1)(p-2)=2a³ với a nguyên

   Ta thấy p=2 thỏa mãn pt  và p=3 không thỏa    . Xét p>3

Vì (p+1) và p-2 nguyên tố cùng nhau nên ta có p+1=2x³, p-2=y³(với x,y nguyên tố cùng nhau và xy=a)=>2x³-y³=3 . Ta cm được x=1,y=-1 là TH duy nhất thỏa mãn => p=-1 (loại) => kết luận

P/S còn hơn 1 tháng nữa là thi rồi ! Chúng ta sắp phải lo ôn thi nên chắc sẽ ít khi lên diễn đàn. Đây là thời khắc cuối cùng để giải cho xong những bài toán

(p+1) và p-2 nguyên tố cùng nhau, cái này chưa đúng rồi,p=5, thì p+1 và p-2 không nguyên tố cùng nhau.

Làm thế này đi gọi $(p+1,p-2)=d\Rightarrow 3\vdots d\Rightarrow d\in {1;3}$

+)Xét d=3, $2a^{3}\vdots 9\Rightarrow a\vdots 27$,đặt p+1=3m, p-2=3m-3,giải tiếp các kiểu

+)Xét d=1,làm như bạn

[xuanhoan23112002]

Bài 83: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$x^3-(x+y+z)^2=(y+z)^3+34$

[Khoa Linh]

Mình xin góp một bài 

Bài 74: (MCMC,1996) Cho ba số nguyên dương khác nhau x,y,z. Chứng minh $(x-y)^{5}+(y-z)^{5}+(z-x)^{5}\vdots 5(x-y)(y-z)(z-x)$

Đặt $(x-y,y-z,z-x)=(a,b,c)$ khi đó ta có: $a+b+c=0$

Ta có: 

$a^5+b^5+c^5=(a^3+b^3)(a^2+b^2)-(a+b)a^2b^2+c^5=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+b^2)-(a+b)a^2b^2-(a+b)^5=(a+b)(a^4+b^4+2a^2b^2-a^3b-ab^3-a^2b^2-(a^2+b^2+2ab)^2)=(a+b)(-5a^2b^2-5a^3b-5ab^3)=5abc(a^2+b^2+ab)$

Suy ra đpcm

[PhanThai0301]

Đặt $(x-y,y-z,z-x)=(a,b,c)$ khi đó ta có: $a+b+c=0$
Ta có: 
$a^5+b^5+c^5=(a^3+b^3)(a^2+b^2)-(a+b)a^2b^2+c^5=(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+b^2)-(a+b)a^2b^2-(a+b)^5=(a+b)(a^4+b^4+2a^2b^2-a^3b-ab^3-a^2b^2-(a^2+b^2+2ab)^2)=(a+b)(-5a^2b^2-5a^3b-5ab^3)=5abc(a^2+b^2+ab)$
Suy ra đpcm

Ban thu xem lai coi Minh thay chua dung lam.

[Tea Coffee]

Bài 83: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$x^3-(x+y+z)^2=(y+z)^3+34$

$\left\{\begin{matrix}x=a \\ y+z=b \end{matrix}\right.$

$=>a^{3}-(a+b)^{2}=b^{3}+34<=>a^{3}-b^{3}=(a+b)^{2}+34<=>(a-b)(a+b)^{2}-ab(a-b)=(a+b)^{2}+34<=>(a+b)^{2}(a-b-1)-ab(a-b-1)=34+ab<=>(a-b-1)(a^{2}+ab+b^{2})=34+ab$

$=>34+ab\vdots a^{2}+ab+b^{2}$

Do $a,b\epsilon \mathbb{Z}^{+}=>ab+34\geq a^{2}+ab+b^{2}<=>34\geq a^{2}+b^{2}> 0...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 22-04-2018 - 23:40

[Tea Coffee]

Bài 79: Gợi ý sử dụng nguyên lí cực hạn. ĐS: p=2 hoặc p=3

Làm thế này không biết có đúng không ạ:

$p^{n}=x^{3}+y^{3}\vdots x+y$

$=>p^{n}\vdots x+y$

Giả sử $p$ không chia hết cho $x+y$

$=>(p,x+y)=1=>(p^{n},x+y)=1=>x+y=1$ vô lý

$=>p\vdots x+y$

$=>x+y=p$

$=>(x+y)^{n}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})<=>(x+y)^{n-1}=x^{2}-xy+y^{2}$

Do $(x+y)^{2}> x^{2}-xy+y^{2}$ nên $n-1\leq 1<=>n\leq 2<=> \begin{bmatrix}n=1 \\ n=2 \end{bmatrix}$

- $n=1$

$=>x^{2}-xy+y^{2}=1<=> (2x-y)^{2}+3y^{2}=4...$

- $n=2$

$=>(x+y)=x^{2}-xy+y^{2}$

Giải $x,y$ ra $p$.

[Khoa Linh]

Ban thu xem lai coi Minh thay chua dung lam.

Không đúng ở chỗ nào vậy bạn ?

[DOTOANNANG]

Bài 84. Cho 6 số nguyên dương $a\,,\,b\,,\,c\,,\,d\,,\,e\,,\,f$ thỏa $abc\,=\,def$. Chứng minh $a\,(b^2+c^2)+d\,(e^2+f^2)$ không là số nguyên tố.

[xuanhoan23112002]

Bài 85(VMO 2007): Cho x, y là các số nguyên, $x\neq -1, y\neq -1$ thoả mãn: $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. CMR

$x^{4}y^{44}-1$ chia hết cho x+1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 23-04-2018 - 13:14

[Tea Coffee]

TOPIC tiếp tục với các bài toán số học hấp dẫn nào:

86) Cho $x$ và $y$ là các số hữu tỷ thỏa mãn:$(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$. CMR: $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỷ.

87) Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{(a+b)^{2}+a+b}{ab}$ là một số nguyên. Gọi $d$ là một ước chung bất kỳ của $a,b$. CMR: $d\leq \left [ \sqrt{a+b} \right ]$ ( Kí hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)

88) Có hay không các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn: $\left | x-2005y \right |+\left | y-2007z \right |+\left | z-2009x \right |=2011^{x}+2013^{y}+2015^{z}$

89) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

90) Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $x^{2}-5x+7=3^{y}$

[Korkot]

TOPIC tiếp tục với các bài toán số học hấp dẫn nào:

86) Cho $x$ và $y$ là các số hữu tỷ thỏa mãn:$(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$. CMR: $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỷ.

87) Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{(a+b)^{2}+a+b}{ab}$ là một số nguyên. Gọi $d$ là một ước chung bất kỳ của $a,b$. CMR: $d\leq \left [ \sqrt{a+b} \right ]$ ( Kí hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)

88) Có hay không các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn: $\left | x-2005y \right |+\left | y-2007z \right |+\left | z-2009x \right |=2011^{x}+2013^{y}+2015^{z}$

89) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

90) Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $x^{2}-5x+7=3^{y}$

Bài 87. GT cho ta  $\frac{(a+b)(a+b+1)}{ab}$ là một số nguyên

a+b+1 và a+b nguyên tố cùng nhau nên chỉ có a+b chia hết cho d

Nhưng ab chia hết cho d² nên để biểu thức là số nguyên thì a+b chia hết cho d² => đpcm

Bài nhiều mà giải không hết

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 23-04-2018 - 20:08

[Khoa Linh]

TOPIC tiếp tục với các bài toán số học hấp dẫn nào:

86) Cho $x$ và $y$ là các số hữu tỷ thỏa mãn:$(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$. CMR: $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỷ.

 

Ta có: 

$(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)\Leftrightarrow x^3+y^3=2xy\Rightarrow x^6+y^6+2x^3y^3=4x^2y^2\Leftrightarrow (x^3-y^3)^2=4x^2y^2-4x^3y^3\Leftrightarrow 1-xy=\frac{(x^3-y^3)^2}{4x^2y^2}$.

Suy ra $\sqrt{1-xy}=\left | \frac{x^3-y^3}{2xy} \right |$ là số hữu tỷ

[dat102]

Bài 85(VMO 2007): Cho x, y là các số nguyên, $x\neq -1, y\neq -1$ thoả mãn: $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. CMR

$x^{4}y^{44}-1$ chia hết cho x+1

Đặt $\frac{x^4-1}{y+1}=\frac{a}{b}$ và $\frac{y^4-1}{x+1}=\frac{c}{d}$ sao cho $(a,b)=(c,d)=1$ và $a,b,c,d$ nguyên.

Ta có: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$ là số nguyên.

Suy ra $ad \vdots b$ và $bc \vdots d$ hay $b=d$

Mặt khác $\frac{ac}{bd}$ là số nguyên nên $c \vdots b$ hay $c \vdots d$

$y^4-1 \vdots x+1$. Suy ra đpcm

[mduc123]

TOPIC tiếp tục với các bài toán số học hấp dẫn nào:

86) Cho $x$ và $y$ là các số hữu tỷ thỏa mãn:$(x+y)^{3}=xy(3x+3y+2)$. CMR: $\sqrt{1-xy}$ là một số hữu tỷ.

87) Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{(a+b)^{2}+a+b}{ab}$ là một số nguyên. Gọi $d$ là một ước chung bất kỳ của $a,b$. CMR: $d\leq \left [ \sqrt{a+b} \right ]$ ( Kí hiệu $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$)

88) Có hay không các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn: $\left | x-2005y \right |+\left | y-2007z \right |+\left | z-2009x \right |=2011^{x}+2013^{y}+2015^{z}$

89) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

90) Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $x^{2}-5x+7=3^{y}$

90.

$x^{2}-5x+7-3^{y}=0\Rightarrow \Delta =4.3^{y}-3=p^{2}$ (do phương trình có nghiệm tự nhiên)

$\Rightarrow p\vdots 3$ 

đặt p=3q $\Rightarrow 4.3^{y}-3=9q^{2}\Leftrightarrow 4.3^{y-1}=3q^{2}+1$ mà $3q^{2}+1$ không chia hết cho 3 nên $4.3^{y-1}$ không chia hết cho 3. Vậy y=1

$\Rightarrow x^{2}-5x+4=0\Rightarrow x\in$ {1;4}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 23-04-2018 - 17:14

[YoLo]

Đi vét  thôi

Bài 82: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn $p> q$ và $p^3-q^7=p-q$

$p^{3}-p=q^{7}-q>q^{6}-q^{2} => p>q^{2}$

mà $p(p-1)(p+1)=q(q-1)(q+1)(q^{2}+q+1)(q^{2}-q+1)$ chia hết cho p

=> từng cái phải chia hết cho $p$ mà $p>q^{2}$

=> chỉ xảy ra $q^{2}+q+1$ chia hết cho $p$

q nguyên tố => $q^{2}+q+1<2q^{2}=2p$ => $p=q^{2}+q+1$

thay vào giải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 23-04-2018 - 18:28

[YoLo]

TOPIC tiếp tục với các bài toán số học hấp dẫn nào:

88) Có hay không các số nguyên $x,y,z$ thỏa mãn: $\left | x-2005y \right |+\left | y-2007z \right |+\left | z-2009x \right |=2011^{x}+2013^{y}+2015^{z}$

Nếu $x,y,z$ nguyên không âm thì vế trái chẵn, vế phải lẻ (vô lý)

Nếu trong 3 số $x,y,z$ có 1 số <0

Nếu $x\geq ,y\geq 0,z<0$

=> $2011^{x}+2013^{y}< VT <2011^{x}+2013^{y}+1$

=> VT ko là số nguyên , VP là số nguyên => vô lý

Tượng tự với TH 2 số <0 và 3 số <0 thì kẹp chúng giữa 2 số nguyên liên tiếp thì ko phải số nguyên

 

TOPIC tiếp tục với các bài toán số học hấp dẫn nào:

89) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: $x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}=4(x^{2}+y^{2}+xy+3)$

$(x^{2}+y^{2})(x+y)=4(x^{2}+y^{2})+4xy+12<7(x^{2}+y^{2})  voi  x^{2}+y^{2}>12$

=> x+y<7 ....

 
 

[xuanhoan23112002]

Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:

$p^3-2p^2+p+1=3^n$

[MarkGot7]

Bài 92: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

                            $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz= 20$

Bài 93: Một tam giác có số đo các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. C/m Tam giác đó đều.

[Korkot]

Bài 92: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

                            $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz= 20$

Bài 93: Một tam giác có số đo các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. C/m Tam giác đó đều.

Bài 93: Ta có S(ABC) = pr =h*a/2 
Với p = (a+b+c)/2; h=AH 
Do r =1 
=> a+b+c =h*a 
Vì h nguyên => h>=1 
Do a+ b+c >2a => h >2 
=> h=3 
(biện luận h>=4 loại ) 
Tương tự với b, c 
=> Ta có hệ: 
{a+b+c =3a 
{a+b+c =3b 
{a+b+c=3c 
=> a=b=c => tg đều 

Bài 92 giả sử $\vert x \vert \geq \vert y \vert \geq \vert z \vert$ thì ta có $\vert z^3 \vert +3z^2 \leq 20$

=> $\vert z \vert \leq 2$

Tới đây thế $z \in {-2;-1;0;1;2}$ vào giải các pt ( 10 pt nhưng có thể cmtt) ta nhận (2,2,2) (2,-2,-2) (0,2,4) (0,-2,-4) (0,-2,4) (0,2,-4) làm nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 23-04-2018 - 21:00

[YoLo]

Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:

$p^3-2p^2+p+1=3^n$

easy to prove $n$ chẵn

=>$n=2k$

=> $p(p-1)^{2}=(3^{k}-1)(3^{k}+1)$

TH1  $3^{k}-1$ chia hết cho p

=> $3^{k}-1=px ;3^{k}+1=px+2$ ($x$ nguyên dương)

thay vào có

$(p-1)^{2}=x(px+2)$

<=> $p^{2}-p(x^{2}+2)+(1-2x)=0$

coi đây là phương trình bậc $2$ với ẩn $p$

có $\Delta =(x^{2}+2)^{2}+4(2x-1)$ là số chính phương

=> $x^{4}+4x^{2}+8x$ là số chính phương

Xét 1 số TH của $x$ để kẹp biểu thức trên giữa bình phương của 2 đa thức (tự túc )

TH2: Tương tự như TH1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 23-04-2018 - 21:18