Chủ đề này có 271 trả lời

[xuanhoan23112002]

Bài 94: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2+8=y^2$

[Korkot]

Thấy bài này năm đó thành phố mình ít người giải được nên post lên

Bài 95: Cho 1000 số nguyên dương a₁,a₂,...,a₁₀₀₀ sao cho $1<\leq a_{k}\leq k$ với mọi k=1,2,..,1000 và a₁+a₂+...+a₁₀₀₀ là số chẵn. Hỏi trong các số+-a₁ +- a₂ +-...+-a₁₀₀₀ có số nào =0 không? Giải thích (PTNK 2000)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 24-04-2018 - 12:01

[yeu maths]

Bài 96:  Giải phương trình nghiệm nguyên: $(x-y)(2x+y+1)+9(y-1)=13$

[yeu maths]

Bài 97: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2\leq 2(ab+bc+ca)$ và $p,q,r$ là các số t/m $p+q+r=0$

CMR: $apq+bqr+crp\leq 0$

[YoLo]

Thấy bài này năm đó thành phố mình ít người giải được nên post lên

Bài 95: Cho 1000 số nguyên dương a₁,a₂,...,a₁₀₀₀ sao cho $1<\leq a_{k}\leq k$ với mọi k=1,2,..,1000 và a₁+a₂+...+a₁₀₀₀ là số chẵn. Hỏi trong các số +-a₁ +- a₂ +-...+-a₁₀₀₀ có số nào =0 không? Giải thích (PTNK 2000)

Chả hiểu câu hỏi là ý gì ???

Bài 98 Kí hiệu $\tau (n)$ là số lượng các ước số tự nhiên của $n$. CM với mọi $n$ nguyên dương ta luôn có$\tau (n)^{2}<4n$

Bài 99 Cho $a,b$ nguyên dương sao cho $\frac{a^{2}b+a+b}{ab^{2}+b+3}$ là số nguyên dương .CM $9\mid ab$

Chúc mừng topic đạt 100 bài

Bài 100 (Bài này khó nhô não)

Cho số nguyên tố$p$  sao cho $p\equiv 1(mod4)$ và số nguyên dương $a$ thỏa mãn $(a,p)=1$

Tính $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left \{ \frac{ak^{2}}{p} \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 23-04-2018 - 22:30

[Korkot]

Bài 101 : Tìm các cặp số có 3 chữ số thỏa $\overline{abc}+ \overline{def}$ chia hết cho 498 và $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$ chia hết cho 5 

Bài 97 là bài BĐT mà?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 24-04-2018 - 12:34

[DOTOANNANG]

Bài 84. Cho 6 số nguyên dương $a\,,\,b\,,\,c\,,\,d\,,\,e\,,\,f$ thỏa $abc\,=\,def$. Chứng minh $a\,(b^2+c^2)+d\,(e^2+f^2)$ không là số nguyên tố.

 

Đây là một bài cũ trên Toán học Tuổi trẻ 2006 (thi chuyên cũng nên tham khảo tại đây), Chen Ji (Iran TST 1996) , năm 2011 đã đưa ra cách chứng minh khác khá độc đáo như sau:

 

$a\,(b^2+c^2)+d\,(e^2+f^2)\,=\,\frac{(de^2+ac^2)\,(de^2+ab^2)+(def+abc)\,(def-abc)}{de^2}$

 

$=\frac{(de^2+ac^2)\,(de^2+ab^2)}{de^2}$ là số nguyên và cũng là hợp số.

 

[PhanThai0301]

Bài 97: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2\leq 2(ab+bc+ca)$ và $p,q,r$ là các số t/m $p+q+r=0$

CMR: $apq+bqr+crp\leq 0$

 Thay $r=-p-q$ vào, ta có: 

$apq+bqr+crp=apq-(p+q)(bq+cp)=-cp^2+(a-c-b)pq-bq^2$

Ta cần c/m: $f(p)=cp^2-(a-c-b)pq+bq^2\geq 0$

Nếu $c=0$ thì từ $(1)\Rightarrow a^2+b^2\leq 2ab\Rightarrow a=b\Rightarrow f(p)=bq^2\geq 0$

Xét TH $c>0$: $f(p)=cp^2-(a-c-b)pq+\frac{q^2(a-c-b)^2}{ac}-\frac{q^2(a-c-b)^2}{4c}+bq^2$

                             $=c[p-\frac{q(a-c-b)}{2c}]^2+\frac{q^2[4bc-(a-c-b)^2]}{4c}$

                             $=c[p-\frac{q(a-c-b)}{2c}]^2+\frac{q^2[2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)]}{4c}\geq 0$

$\Rightarrow$ đpcm

 P/s: cấy bài ni là BĐT mà bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 24-04-2018 - 17:37

[PhanThai0301]

Bài 102: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $1987x^{2}+1988y^{2}=3000-2x^{2}y^{2}$.

Bài 103: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}-200xy+p=0$ với p là các số nguyên tố $p\leq 1999$.

Bài 104: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^{2y^{2}+1}+2x^{2(y^{2}+1)}+x^{2y^{2+3}}-4x^{2(y^{2}+2)}+x^{2y^{2}+5}+10=0$.

P/s: anh Jolo ra bài thcs thôi ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 24-04-2018 - 21:20

[thanhdatqv2003]

Bài 105: Tìm tất cả các số nguyên tố x,y sao cho $x^2-6y^2=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 24-04-2018 - 23:08

[Tea Coffee]

Bài 105: Tìm tất cả các số nguyên tố x,y sao cho $x^2-6y^2=1$

$x^{2}-6y^{2}=1<=>x^{2}=6y^{2}+1$

$=>x=2k+1(k\epsilon \mathbb{N}^{*})$

$=>4k^{2}+4k=6y^{2}<=>2k(k+1)=3y^{2}=>y\vdots 2=>y=2,x=5$

[Kylie Nguyen]

Bài 102: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $1987x^{2}+1988y^{2}=3000-2x^{2}y^{2}$.

 

x=0 không tồn tại y nguyên thỏa mãn

$x^{2}$=1 thì cũng không tồn tại y nguyên thỏa mãn

nếu $x^{2}$ >=4 thì vt>=4.1987=7948>3000>=VP

suy ra pt vô nghiệm 

[thanhdatqv2003]

Bài 106 : Tìm tất cả các số nguyên tố P để tổng các ước số của P^4 là 1 số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 25-04-2018 - 00:32

[Tea Coffee]

Bài 102: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $1987x^{2}+1988y^{2}=3000-2x^{2}y^{2}$.

Bài 103: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}-200xy+p=0$ với p là các số nguyên tố $p\leq 1999$.

 

102) C2: Ta có: $1987x^{2}+2x^{2}y^{2}+1988y^{2}=3000$

+)T/H1: $x\vdots 3=>y\vdots 3$

$=>VT\vdots 9,VP$ không chia hết $9$.

+)T/H2: $x$ không chia hết $3$ $=>$ $y$ không chia hết $3$

$=>VT$ không chia hết $3$

103) Ta có: $x^{2}-200xy+p=0\vdots x$

$=>p\vdots x$ $=>x=1;-1;p;-p$

+)T/H1: $x=1=>1+p=200y\leq 1+1999=2000=>y\leq 10$

Mà $1+p=200y> 0=>y> 0$ tìm $y$ rồi suy ra $p$.

+)T/H2: $x=-1=>1+p=-200y\leq 2000=>y\geq -10$

Mà $1+p=-200y> 0=>y< 0...$

+)T/H3: $x=p=>p^{2}-200py+p=0<=>p-200y+1=0...$

+)T/H4: $x=-p$ tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 24-04-2018 - 23:26

[Kylie Nguyen]

Bài 104: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^{2y^{2}+1}+2x^{2(y^{2}+1)}+x^{2y^{2+3}}-4x^{2(y^{2}+2)}+x^{2y^{2}+5}+10=0$.

xét nếu x chia hết cho 3 thì vt chia 3 dư 1 vô nghiệm

nếu x không chia hết cho 3 thì $x^{2}$ chia 3 dư 1 suy ra vt chia 3 dư 1 vô nghiệm

Vậy pt vô nghiệm

[Kylie Nguyen]

Bài 101 : Tìm các cặp số có 3 chữ số thỏa $\overline{abc}+ \overline{def}$ chia hết cho 498 và $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$ chia hết cho 5 

Đặt $\frac{\overline{abc}}{\overline{def}}$=k (k nguyên dương) suy ra k chia hết cho 5

k=5 thì abc+def=6def chia hết 498 nên def chia hết 83 suy ra (abc,def)=(166,830)

k>=10 thì abc có 4 chữ số (loại)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kylie Nguyen: 24-04-2018 - 23:33

[Tea Coffee]

Bài 106 : Tìm tất cả các số nguyên tố P để tổng các ước số của P^4 là 1 số chính phương

Do $p$ là số nguyên tố nên các ước của $p^{4}$ là $1,p,p^{2},p^{3},p^{4}.$

Đặt $1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}=a^{2}(a\epsilon \mathbb{N})=>4p^{4}+4p^{3}+4p^{2}+4p+4=4a^{2}$

Mà $(2p^{2}+p)^{2}< 4a^{2}< (2p^{2}+p+2)^{2}=>4a^{2}=(2p^{2}+p+1)^{2}=4p^{4}+4p^{3}+4p^{2}+4p+4...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 24-04-2018 - 23:35

[thanhdatqv2003]

Bài 107: Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn $3(x^4+y^4+x^2+y^2+2)=2(x^2-x+1)(y^2-y+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 25-04-2018 - 14:50

[PhanThai0301]

Bài 104: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3x^{2y^{2}+1}+2x^{2(y^{2}+1)}+x^{2y^{2+3}}-4x^{2(y^{2}+2)}+x^{2y^{2}+5}+10=0$.
xét nếu x chia hết cho 3 thì vt chia 3 dư 1 vô nghiệm
nếu x không chia hết cho 3 thì $x^{2}$ chia 3 dư 1 suy ra vt chia 3 dư 1 vô nghiệm
Vậy pt vô nghiệm

Co nghiem x=2, y=0 ban a.

[Tea Coffee]

Bài 107: Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn $3(x^4+y^4+x^2+y^2+2)=2(x^2-x+1)(y^2-y+1)$

Nguyên dương thì dễ rồi :v

$PT<=>3(x^{4}+x^{2}+1)+3(y^{4}+y^{2}+1)=2(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1)<=>3\left [ (x^{2}-x+1)^{2}+(2x^{3}-2x^{2}+2x) \right ] + 3\left [ (y^{2}-y+1)^{2}+(2y^{3}-2y^{2}+2y) \right ] = 2(x^{2}-x+1)(y^{2}-y+1) <=> 2(x^{2}-x+1)^{2}+2(y^{2}-y+1)^{2}+3.2x(x^{2}-x+1)+3.2y(y^{2}-y+1)+\left [ (x^{2}-x+1)-(y^{2}-y+1) \right ]^{2}=0$

Do $x$ và $y$ nguyên dương nên $VT>0$ suy ra phương trình vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 25-04-2018 - 08:22