Chủ đề này có 271 trả lời

[Korkot]

Bài 139: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ , sao cho $2^{11p} -2$ chia hết cho $11p$

Vì p và 11 đều là SNT nên số số nguyên tố cùng nhau với 11p là: 11p-3

Vậy theo định lý Euler ta có: $2^{11p-3}-1 \vdots 11p$

$\Rightarrow 2^{11p}-8 \vdots 11p$

$\Rightarrow 2^{11p}-2-6 \vdots 11p$

$\Rightarrow -6 \vdots 11p$ (vô lí với p là SNT)

Vậy ko tồn tại p thỏa mãn

[Tea Coffee]

Đóng góp cho topic
Bài 137: Tìm hai số chính phương khác nhau $a_{1}a_{2}a_{3}a_{4} $ và $b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}$ thỏa mãn điều kiện $ a_{1}-b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=a_{4}-b_{4}$
Bài 138: Cho $\bar{abcd}$ và$ \bar{dcba} $ là 2 số chính phương khác nhau có 4 chữ số và $ \bar{dcba} \vdots \bar{abcd}$. Tìm hai số ấy
Bài 140: Tìm tất cả các số nguyên tố có 4 chữ số có 4 chữ số $\bar{abcd} $ sao cho $\bar{ab}; \bar{ac}$ là các số nguyên tố và $b^2=\bar{cd}+b-c$

137) $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}-\overline{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}}=1000(a_{1}-b_{1})+100(a_{2}-b_{2})+10(a_{3}-b_{3})+(a_{4}-b_{4})=1111(a_{1}-b_{1})=11.101.(a_{1}-b_{1})$

$\left\{\begin{matrix}\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}=x^{2} \\ \overline{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}}=y^{2} \end{matrix}\right. (x,y\epsilon \mathbb{N})$

Không mất tính TQ,GS $x> y$

$=>(x-y)(x+y)$ $=101.11.(a_{1}-b_{1})$

$1\leq a_{1}-b_{1}\leq 8$

Do $x+y\geq x-y=>x+y\vdots 101$

$1000\leq x^{2},y^{2}\leq 9999=>32\leq x,y\leq 99=>64\leq x+y\leq 198=>x+y=101$

Thế vào PT với $a_{1}-b_{1}=1;2;3;4;5;6;7;8$

138) $\overline{dcba}=x^{2}.\overline{abcd}(x\epsilon N)$

$=>1\leq x^{2}\leq 9=>x=2,3(\overline{abcd}\neq \overline{dcba})$

+) T/H1: $x=2=>\overline{dcba}=4.\overline{abcd}<=> 1000d+100c+10b+a=4000a+400b+40c+4d=>a\vdots 2=>a=4,6$

- $a=4=>249d+15c=3999+95b$ $=>VT< VP (><)$

- $a=6 =>996d+60c=390b+23994=>VT<VP$

Tương tự...

P/S: $a=4$ mình tính nhầm nhưng nhác sửa. MN tự làm nhé!

140) Đây là một bài dễ các bạn làm tiếp nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 02-05-2018 - 23:26

[Lao Hac]

Bài142: Tồn tại hay ko số x nguyên thỏa mãn $x^{2401}+x^2+1\vdots 2013$

[YoLo]

Chả hiểu câu hỏi là ý gì ???

Bài 98 Kí hiệu $\tau (n)$ là số lượng các ước số tự nhiên của $n$. CM với mọi $n$ nguyên dương ta luôn có$\tau (n)^{2}<4n$

Bài 99 Cho $a,b$ nguyên dương sao cho $\frac{a^{2}b+a+b}{ab^{2}+b+3}$ là số nguyên dương .CM $9\mid ab$

Chúc mừng topic đạt 100 bài

Bài 100 (Bài này khó nhô não)

Cho số nguyên tố$p$  sao cho $p\equiv 1(mod4)$ và số nguyên dương $a$ thỏa mãn $(a,p)=1$

Tính $\sum_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}\left \{ \frac{ak^{2}}{p} \right \}$

Vì đã lâu nên mk xin đưa ra đáp án bài 98

Bài 98

Có nếu $a\mid n$ thì $b=\frac{n}{a}\mid n$

ta chia các ước số nguyên dương của $n$ thành các cặp là $a< \sqrt{n}$ (gọi là số A) và $b=\frac{n}{a}$ (gọi là số B)

=> số các số A=số các số B

TH1: $n$ không là SCP

=>=> $\tau (n)=$ 2 lần số các số A

Khi  đó tất cả số A đều $< \sqrt{n}$

Gọi d là số lớn nhất trong các số A => $d\leq \left [ \sqrt{n} \right ]< \sqrt{n}$

Mọi số A đều thuộc tập $\left \{ 1,2,3,...,\left [ \sqrt{n} \right ] \right \}$ nên số các số A $< \sqrt{n}$

=>$\tau (n)<2\sqrt{n}$

TH2: $n$ là SCP

=>$\sqrt{n}$ là ước của n => các số A $\leq \sqrt{n}-1$

=>số các số A$\leq \sqrt{n}-1$

=> $\tau (n)\leq 2(\sqrt{n}-1)+1< 2\sqrt{n}$  (cộng 1 ở đây là thêm cái thằng $\sqrt{n}$ )

 => xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 03-05-2018 - 23:36

[PhanThai0301]

Bài 142: Có thể tìm được hay không 1 dãy số tự  nhiên gồm 2018 số liên tiếp mà trong dãy đó không có số nào là số nguyên tố.

[YoLo]

Bài 142: Có thể tìm được hay không 1 dãy số tự  nhiên gồm 2018 số liên tiếp mà trong dãy đó không có số nào là số nguyên tố.

Mk trả lời cho bạn tổng quát n số luôn nè

Dãy $(n+1)!+2;(n+1)!+3;(n+1)!+4;...;(n+1)!+(n+1)$

là dãy gồm n số liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số

[Khoa Linh]

Mk trả lời cho bạn tổng quát n số luôn nè

Dãy $(n+1)!+2;(n+1)!+3;(n+1)!+4;...;(n+1)!+(n+1)$

là dãy gồm n số liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số

Tại sao các số trên đều là hợp số 

Có các phản chứng, ví dụ $n=1$ thì $(n+1)!+3=5$ là số nguyên tố mà 

[YoLo]

Tại sao các số trên đều là hợp số 

Có các phản chứng, ví dụ $n=1$ thì $(n+1)!+3=5$ là số nguyên tố mà 

 

Đề bài yêu cầu chỉ ra tồn tại hay không tức là tôi đã chỉ ra 1 dãy tm bài, n=1 ko được cho n bằng 1 tỷ thử xem tm mà

bạn xem số thứ nhất chẵn , số thứ 2 chia hết cho 3 , số thứ 3 chia hết cho 4, ...., số thứ n chia hết cho n+1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 04-05-2018 - 21:47

[taconghoang]

Bài 143 : Tìm tất cả các bộ số nguyên tố p,q thỏa : $p^{3}+107=2q(17q+24)$ 

[kekkei]

q=2 ( absurd)

p =2;3 ( absurd) 

-> p $\equiv$ [1;-1] ( mod 6)

* p $\equiv$ 1 ( mod6) -> q $\vdots$ 3 -> q=3 -> p=7

* $\equiv$ -1 ( mod6) -> 4 $\equiv$  2q(17q+24) ( mod6)

-> 2 $\equiv$ q(17q+24) ( mod6)

-> 17q² $\equiv$ 2 ( mod6)

-> q²+2 $\vdots$ 6

notice that q is odd -> q²+2 is odd ( contradiction)

[Tea Coffee]

TOPIC tiếp tục với các bài toán sau:

144) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn:

a) $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$

b) $x^{3}-y^{3}=95(x^{2}+y^{2})$

c) $x^{4}+2x^{2}=y^{3}$ với $x,y$ là số nguyên.

145) Với $x,y$ là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{x^{2}-1}{2}=\frac{y^{2}-1}{3}$ . Chứng minh rằng $x^{2}-y^{2}$ chia hết cho $40$.

146) Cho hai số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+1=2(ab+a+b)$. CM $a,b$ là hai số chính phương liên tiếp.

147) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.x^{2}y^{2}z^{2}$

148) Cho $a,b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn:$ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR $\left | a-b \right |> \sqrt[3]{3ab}$

149) Tìm các số tự nhiên $m,n$ thỏa mãn: $1+5.2^{m}=3^{n}$

150) Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 4$

And a special gift: Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $0< a^{2}+b^{2}-2017ab< 2017.$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}-2017ab$ là số chính phương.

 

Thời gian qua chúng ta đã cùng nhau đi qua hơn 100 bài toán hay, bổ ích. Thời gian thi cũng gần kề mình nghĩ lúc này là lúc ôn tập lại tất cả các phần đã học thay vì chỉ ôn phần Số học nên quyết định dừng TOPIC tại đây. Hy vọng TOPIC đã giúp các bạn củng cố được phần nào kiến thức và có kết quả thực tiễn trong các kỳ thi tuyển sinh lớp 10, tuyển sinh lớp 10 chuyên toán,... sắp tới. CHÚC CÁC BẠN ĐẠT ĐƯỢC KẾT QUẢ NHƯ Ý MUỐN. P/S: Tất cả đều thủ khoa hết nhé! ( Các bài mình vừa post các bạn cứ giải thoải mái rồi post đáp án lên nhé, nếu cần nói mình post đáp án cho.)

[Lao Hac]

TOPIC tiếp tục với các bài toán sau:

 

146) Cho hai số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+1=2(ab+a+b)$. CM $a,b$ là hai số chính phương liên tiếp.

 

BÀI 146: Có $a^{2}+b^{2}+1=2(ab+a+b)$

<=> $a^{2}+b^{2}+1-2ab-2a-2b=0$

<=>$\left ( a^{2}+b^2-2ab \right )-2a+2b-4b+1=0$

<=>$(a-b)^{2}-2(a-b)+1=4b$

<=>$(a-b-1)^{2}=4b$

Do 4 là số chính phương nên b cũng là số chính phương

Đặt $b=x^{2}$

<=>$\left ( a-x^{2} -1\right )^{2}=(2x)^2$

Từ đây ta xét 2 TH. 

TH1: $a-x^2-1=2x$

<=> $a=(x+1)^2$

TH2: $a-x^2-1=-2x$

<= > $a=(x-1)^2$

=> đpcm

[Lao Hac]

TOPIC tiếp tục với các bài toán sau:

144) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn:

a) $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$

 

144a) Có $2^x.x^2=9.y^2+6y+16$

<=>$2^x.x^2=(3y+1)^2+15$

Do $(3y+1)^2+15$ $\geq 15$ nên $2^x.x^2$ $\geq 15$ nên $x\geq 2$

TH1: $x=2 => y =0$

TH2: $x\geq 3$. 

 +) x = 3k => $2^x.x^2 \vdots 3$ mà $(3y+1)^2$ chia 3 dư 1 nên $(3y+1)^2+15$ chia 3 dư 1 => loại

 +) x = 3k+1 =>  $2^x.x^2$  chia hết cho 8.Mà $(3y+1)^2+15$ chia 8 dư 3 hoặc dư 7 ( loại )

 +) x = 3k+2 => $2^x.x^2$  chia hết cho 10.Nếu $(3y+1)^2+15$ chia hết cho 10 thì $(3y+1)^2$ tận cùng là 5 => vô lý

Vậy chỉ có x=2, y =0 thỏa mãn 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 06-05-2018 - 09:30

[MoMo123]

137) $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}-\overline{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}}=1000(a_{1}-b_{1})+100(a_{2}-b_{2})+10(a_{3}-b_{3})+(a_{4}-b_{4})=1111(a_{1}-b_{1})=11.101.(a_{1}-b_{1})$

$\left\{\begin{matrix}\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}}=x^{2} \\ \overline{b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}}=y^{2} \end{matrix}\right. (x,y\epsilon \mathbb{N})$

Không mất tính TQ,GS $x> y$

$=>(x-y)(x+y)$ $=101.11.(a_{1}-b_{1})$

$1\leq a_{1}-b_{1}\leq 8$

Do $x+y\geq x-y=>x+y\vdots 101$

$1000\leq x^{2},y^{2}\leq 9999=>32\leq x,y\leq 99=>64\leq x+y\leq 198=>x+y=101$

Thế vào PT với $a_{1}-b_{1}=1;2;3;4;5;6;7;8$

138) $\overline{dcba}=x^{2}.\overline{abcd}(x\epsilon N)$

$=>1\leq x^{2}\leq 9=>x=2,3(\overline{abcd}\neq \overline{dcba})$

+) T/H1: $x=2=>\overline{dcba}=4.\overline{abcd}<=> 1000d+100c+10b+a=4000a+400b+40c+4d=>a\vdots 2=>a=4,6$

- $a=4=>249d+15c=3999+95b$ $=>VT< VP (><)$

- $a=6 =>996d+60c=390b+23994=>VT<VP$

Tương tự...

P/S: $a=4$ mình tính nhầm nhưng nhác sửa. MN tự làm nhé!

 

Mình xin đưa ra lời giải bài 139:

Đặt $\overline{abcd}=m^2 \Rightarrow  \overline{dcba} =m^2n^2$(Với $m,n \in N*$

Ta có: $\overline{dcba}-\overline{abcd}=m^2n^2-m^2=m^2(n^2-1)=999d+90c-90b-999a \vdots 9$

$\Rightarrow m^2(n^2-1) \vdots 9$

Vì $m\leq 99 ; mn \geq 32 \Rightarrow n \leq 3$ Vì $n\geq 1$

$\Rightarrow 2\leq n \leq 3$ 

TH1: $ n=2 \Rightarrow m^2 \vdots 3 \Rightarrow m\vdots 3$

TH2: $ n=3 \Rightarrow m^2 \vdots 9 \Rightarrow m \vdots 3$

Hay nói tóm lại, m luôn $\vdots 3$(1)

Mặt khác $\overline{abcd}+\overline{dcba}=m^(n^2+1)= 1001d+110b+1001a+101c \vdots 11$

Tương tự như trên, ta có thể suy ra $m \vdots 11$(2)

Từ (1); (2) $ \Rightarrow m \vdots 33$(*)

Vì $n\geq 2; mn \leq 99$ Từ đây $ \rightarrow m \leq 50$(**)

Từ (*)(**) $ \Rightarrow m=33$

$ \Rightarrow \overline {abcd}=1098; \overline{dcba}=9801$

p/s: Mặc dù kết thúc hơi sớm nhưng TOPIC cũng thành công rực rỡ rồi, chúc mừng TOPIC tròn 21 ngày tuổi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 06-05-2018 - 23:11

[dragon ball super]

TOPIC tiếp tục với các bài toán sau:

144) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $x,y$ thỏa mãn:

a) $2^{x}.x^{2}=9y^{2}+6y+16$

b) $x^{3}-y^{3}=95(x^{2}+y^{2})$

c) $x^{4}+2x^{2}=y^{3}$ với $x,y$ là số nguyên.

145) Với $x,y$ là số nguyên dương thỏa mãn $\frac{x^{2}-1}{2}=\frac{y^{2}-1}{3}$ . Chứng minh rằng $x^{2}-y^{2}$ chia hết cho $40$.

146) Cho hai số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+1=2(ab+a+b)$. CM $a,b$ là hai số chính phương liên tiếp.

147) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.x^{2}y^{2}z^{2}$

148) Cho $a,b$ là các số nguyên dương khác nhau thỏa mãn:$ab(a+b)\vdots a^{2}+ab+b^{2}$ .CMR $\left | a-b \right |> \sqrt[3]{3ab}$

149) Tìm các số tự nhiên $m,n$ thỏa mãn: $1+5.2^{m}=3^{n}$

150) Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 4$

And a special gift: Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $0< a^{2}+b^{2}-2017ab< 2017.$. Chứng minh $a^{2}+b^{2}-2017ab$ là số chính phương.

 

Thời gian qua chúng ta đã cùng nhau đi qua hơn 100 bài toán hay, bổ ích. Thời gian thi cũng gần kề mình nghĩ lúc này là lúc ôn tập lại tất cả các phần đã học thay vì chỉ ôn phần Số học nên quyết định dừng TOPIC tại đây. Hy vọng TOPIC đã giúp các bạn củng cố được phần nào kiến thức và có kết quả thực tiễn trong các kỳ thi tuyển sinh lớp 10, tuyển sinh lớp 10 chuyên toán,... sắp tới. CHÚC CÁC BẠN ĐẠT ĐƯỢC KẾT QUẢ NHƯ Ý MUỐN. P/S: Tất cả đều thủ khoa hết nhé! ( Các bài mình vừa post các bạn cứ giải thoải mái rồi post đáp án lên nhé, nếu cần nói mình post đáp án cho.)

 

Cảm ơn chủ topic  

Xin giải bài 145

GThiết $\Leftrightarrow$ $3x^2-2y^2=1$$\Rightarrow 5x^2=2x^2+2y^2+1\vdots 5\Rightarrow x^2+y^2:5$ dư 2

Xét tính chất SCP $\Rightarrow x;y$đều chia 5 dư 1

 

CMTT x;y chia 8 đều dư 1 (ĐPCM)

 

 

 

Chúc mọi người (cả mình nữa) năm nay thi vào 10 đại thành công

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dragon ball super: 06-05-2018 - 23:29

[dat102]

TOPIC tiếp tục với các bài toán sau:

150) Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 4$

BĐT tương đương: $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \ge 4$

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca+1$

Ta dễ dàng CM được: $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$. Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{4}{3}$

Mà $a,b,c$ nguyên nên dấu bằng không xảy ra và $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca+1$.

[kekkei]

150) Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 4$

gợi ý cho mấy bạn lớp 9 : dùng cực hạn + viet

[taconghoang]

150) Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=4$. CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\geq 4$

gợi ý cho mấy bạn lớp 9 : dùng cực hạn + viet

Viete 3 số à anh  

[kekkei]

trích dẫn nhầm đề :v viet+ cực hạn cho cái câu special gift

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kekkei: 08-05-2018 - 17:27

[Tea Coffee]

trích dẫn nhầm đề :v viet+ cực hạn cho cái câu special gift

Bước nhảy Viet  Ta có thể tổng quát hóa bài toán bằng cách thay $c=2017$