Chủ đề này có 271 trả lời

[Tea Coffee]

Khi đó bạn vẫn tìm được k nhưng thế vào không thỏa mãn

 

1= $3^{0}$ mà bạn

TOPIC xấu đi vì những reply kiểu này đấy. Thay vào đó, các bạn có thể trả lời một bài toán cụ thể rồi sau đó trình bày ý kiến của mình về một cái gì đó ở dưới mà theo cách: P/S giống mình đây.

 

Còn bài 18 ai giải được không?

 

Bạn làm loãng TOPIC này ^^ nếu ai làm được thì đã gõ đáp án lên rồi.

Rút kinh nghiệm nhé

 

14) Cho x,y,zx,y,z là các số nguyên thỏa mãn (x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=xyz(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2=xyz.CMR x3+y3+z3⋮x+y+z+6

Từ gt ta có 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=xyz => xyz có dạng 2k

Vì x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2 +y^2+ z^2 -xy-yz-zx)+3xyz= (x+y+z)k+6k= k(x+y+z+6) 

Nên x^3+y^3+z^3 chia hết cho x+y+z+6

Bài này đã có người làm rồi bạn không được làm lại. VÀ PHẢI GÕ LATEX

Các lỗi trên mong hai bạn cùng các bạn khác phải rút kinh nghiệm để TOPIC đẹp, chất lượng hơn.

P/S: TOPIC tiếp tục nhận các bài số học các bạn đóng góp. Cảm ơn các bạn nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 17-04-2018 - 15:15

[Tea Coffee]

 

 Bài 25: Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: $(x^{2}+1)(y^{2}+1)+2(x-y)(1-xy)=4(1+xy)$.

 

                              

$Pt<=>x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1+2(x-y)(1-xy)=4+4xy <=>(1-xy)^{2}+(x-y)^{2}+2(x-y)(1-xy)=4<=>(1-xy+x-y)^{2}=4<=>\begin{bmatrix}1-xy+x-y=2 \\ 1-xy+x-y=-2 \end{bmatrix}$

Đến đây thì dễ rồi chỉ cần lập phương trình ước số là được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 17-04-2018 - 15:32

[Leuleudoraemon]

bài mình từ post bựa trước này

 

Bài 27: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

           $54x^3-1=y^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 17-04-2018 - 15:38

[Tea Coffee]

 

 Bài 26: Tìm tất cả các số nguyên a, b, c, x, y, z thỏa mãn điều kiện sau;

                              $\left\{\begin{matrix} x+y+z=abc & & \\a+b+c=xyz & & \\ a\geq b\geq c\geq 1;x\geq y\geq z\geq 1 & & \end{matrix}\right.$

                              

Do $\left\{\begin{matrix}x+y+z\leq 3x \\ a+b+c\leq 3a \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}abc\leq 3x \\ xyz\leq 3a \end{matrix}\right. =>1\leq c^{2}z^{2}\leq 9=>1\leq cz\leq 3$

+) T/H1: $cz=1<=>c=z=1$

$=> \left\{\begin{matrix}x+y+1=ab \\ a+b+1=xy \end{matrix}\right.$

Do $\left\{\begin{matrix}a\geq b\geq c\geq 1 \\ x\geq y\geq z\geq 1 \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}x+y+1\leq 3x \\ a+b+1\leq 3a \end{matrix}\right. => \left\{\begin{matrix}ab\leq 3x \\ xy\leq 3a \end{matrix}\right. =>1\leq by\leq 9$

Tính $b,y$ theo từng trường hợp nhưng hơi dài ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 17-04-2018 - 15:51

[hoangkimca2k2]

Bài 28: Chứng minh rằng nếu $P=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ là số tự nhiên thì $P$ là số chính phương.

[hoangkimca2k2]

Bài 29: (Vô địch Toán Ba Lan) Chứng minh rằng nếu $x,y$ là các số nguyên thỏa mãn hệ thức $2x^{2}+x=3y^{2}+y$ thì $x-y, 2x+2y+1$ và $3x+3y+1$ là các số chính phương.

[Leuleudoraemon]

Bài 30:

Tìm các số nguyên dương a, b sao cho:

$\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$ nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leuleudoraemon: 17-04-2018 - 16:58

[Tea Coffee]

Bài 29: (Vô địch Toán Ba Lan) Chứng minh rằng nếu $x,y$ là các số nguyên thỏa mãn hệ thức $2x^{2}+x=3y^{2}+y$ thì $x-y, 2x+2y+1$ và $3x+3y+1$ là các số chính phương.

Ta có: $2x^{2}+x=3y^{2}+y<=>2x^{2}-2y^{2}+x-y=y^{2}<=>(x-y)(2x+2y+1)=y^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 17-04-2018 - 16:59

[thanhdatqv2003]

Bài 29: (Vô địch Toán Ba Lan) Chứng minh rằng nếu $x,y$ là các số nguyên thỏa mãn hệ thức $2x^{2}+x=3y^{2}+y$ thì $x-y, 2x+2y+1$ và $3x+3y+1$ là các số chính phương.

+) ta có $2x^2+x=3y^2+y\Leftrightarrow (2x+2y+1)(x-y)=y^2 Đat (2x+2y+1,x-y)=k

==> 2x+2y+1 va a-b chia het cho k \Rightarrow y^2 chia het cho k^2 ==> y chia het cho k$

ma x-y chia hết cho k nên ==> x chia hết cho k

ta có  2x+2y+1 chia hết cho k maf x,y chia hết cho k nên==> 1 chia hết cho k 

Suy ra (2x+2y+1,x-y)=1 maf (2x+2y+1)(x-y)=y^2 ==> 2x+2y+1 và x-y là 2 số CP

 

+) ta co $2x^2+x=3y^2+y \Leftrightarrow (3x+3y+1)(x-y)=x^2$. tuong tu chung minh nhu tren ===> dpcm 

P/s : máy mk ko gõ dấu được mong các b thông cảm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdatqv2003: 17-04-2018 - 17:13

[conankun]

Bài 30:

Tìm các số nguyên dương a, b sao cho:

$\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$ nguyên

Ta có: $(ab-1)(bc-1)(ca-1)=a^2b^2c^2-abc^2-a^2bc+ac-ab^2c+bc+ab-1 \vdots abc$

$\Rightarrow ab+bc+ca-1\vdots abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}\in Z$

Giả sử $1\leq a< b <c$ ta có:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{5}{6}<2\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}=1\Rightarrow ab+bc+ca-1=abc\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=a+b+c\geq 6\Rightarrow (a-1)>0\Rightarrow a\geq 2, b\geq 3, c\geq 4$

+) Nếu $(a-1)(b-1)=2$ => $a=2,b=3,c=5(t/m)$

+) Nếu $(a-1)(b-1)=3$ => $a=2,b=4,c=4,5 (kt/m) $

+) Nếu $(a-1)(b-1)\geq 4$=> $3c>a+b+c=(a-1)(b-1)(c-1)\geq 4(c-1)$ => $3c>4(c-1)$ => $c<4 (kt/m)$

Vậy $(a,b,c)=(2,3,5)$ và các hoán vị của chúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 17-04-2018 - 17:28

[YoLo]

2 . Áp dụng định lý nhỏ fermat ta có: 2^p-2 chia hết cho p và 2^q- 2 chia hết cho q 

Vì p và q là 2 snt => 2^(pq) -2(2^p +2^q) +4 chia hết cho pq

=> 2^(pq)+4 chia hết cho pq

Số các số nguyên tố cùng nhau và nhỏ hơn pq là : pq-3( vì p,q là 2 snt)

=> 2^(pq-3)*8+4 chia hết cho pq

Theo định lý Euler thì 2^(pq-3) chia pq dư 1 nên nếu pq>8 thì 2^(pq-3)*8 chia pq dư 8

Mà 2^(pq) +4 chia hết cho pq nên 12 chia hết cho pq nhưng pq> 8 => vô lí

=> pq<8

Xét các snt có tích < 8 ta nhận p=2,q=2 ; p=3,q=2; p=2,q=3 làm nghiệm

P.S Bài cm của mình chỉ có thể dùng trong các kì thi chuyên toán riêng của các trường như ĐHKHTTN,ĐHSP còn thi chuyên thường thì không được

1. Ta cm bằng quy nạp rằng n có dạng 3^k

Với k=1 gt đúng

Giả sử gt đúng với k=n. Xét k=n+1 ta cần cm ₂3^k+1 ₊₁ chia hết cho n=3^k+1

Vì 3^k+1 là số lẻ nên ₂3^k+1 _{+1 =3(2}3^k+1-1 _- 23^k+1-2  _{+...+1) chia hết cho 3^k*3}

_=> (23^k+1-1 _- 23^k+1-2  _{+...+1) phải chia hết cho 3}k

Thật vậy, nếu ta cặp lần lượt các số hạng của dãy ₍₂3^k+1-1 _- 23^k+1-2  _+...+1)  và đặt nhân tử chung thì dãy sẽ có dang (2^k+1)a chia hết cho 3^k (gt quy nạp)

=> mệnh đề đúng với mọi k là số tự nhiên

=> n có dạng 3^k => n chia hết cho 3

wow, hay ah nha

bn dùng đến định lý Euler là ghê rồi :] chắc các bạn THCS chưa biết đến định lý này

theo mk giải 2 bài này chỉ dùng khái niệm cấp thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 17-04-2018 - 17:55

[PhanThai0301]

Bài 28: Chứng minh rằng nếu $P=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ là số tự nhiên thì $P$ là số chính phương.

          

•      Đầu tiên: Ta chứng minh bài toán sau: Nếu tích của 2 số nguyên tố cùng nhau là số chính phương thì chúng đều là các số       chính phương. (tự cm).
•      Quay trở về bài toán: Nếu P là số tự nhiên thì $12n^{2}+1$ phải là số chính phương lẻ.

               Đặt $12n^{2}+1=(2p-1)^{2}$ <=> $3n^{2}=p(p-1)\vdots 3$ => $p\vdots 3$ hoặc $(p-1)\vdots 3$.

1.      Nếu p chia hết cho 3 thì $n^{2}=\frac{p}{3}(p-1)$. Vì $(\frac{p}{3};p-1)=1$ nên áp dụng bài toán trên thì $\left\{\begin{matrix} \frac{p}{3}=a^{2} & & \\p-1=b^{2} & & \end{matrix}\right.$

               => $b^{2}=3a^{2}-1\equiv 2$ (vô lý).

       2.     Nếu p-1 chia hết cho 3 thì lập luận tương tự thì $\left\{\begin{matrix} p=c^{2} & & \\ \frac{p-1}{3}=d^{2} & & \end{matrix}\right.$

               => P=... là số chính phương (thay số vào là OK).

       P/s: bài này đã được tổng quát tại để thi chuyên toán ams 2017.

[MarkGot7]

Bài 31: Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $p= n^{n}+1$ ( n là một số nguyên dương). Biết p có không nhiều hơn 19 chữ số.

Bài 32: Cho n lá số tự nhiên. Đặt $A= 2+ 2\sqrt{28n^{2}+1}$ . Chứng minh rằng: Nếu A là số nguyên thì A là SCP

[hoangkimca2k2]

Bài 33: Tìm số nguyên tố $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab}, \overline{cd}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=\overline{cd}+b-c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 17-04-2018 - 23:44

[hoangkimca2k2]

Bài 34: Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+2x+4y^{2}=37$ không có nghiệm nguyên dương.

[xuanhoan23112002]

Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên: $y^3=x^5+x^3+x^2+1$ với x là số lẻ

[NguyenHoaiTrung]

Bài 31: Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $p= n^{n}+1$ ( n là một số nguyên dương). Biết p có không nhiều hơn 19 chữ số.

Nếu $n$ lẻ hoặc có ước nguyên tố lẻ thì $p=n^n+1=(n+1)(n^{n-1}-n^{n-2}+....+1)$ là hợp số.Với $n=1$ ta có $p=5$ thỏa mãn

Với $2 \leq n$ thì $n$ là lũy thừa bâc chẵn của $2$. Với $n=2^4$. Ta có $p=16^{16}+1 = 16^5.16^5.16^5.16+1=1048576^3.16+1 >(10^6)^3.16+1> 10^{19} $

Vậy $n \in$ {$2^1;2^2;$}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 17-04-2018 - 21:07

[YoLo]

Bài 36: CMR nếu $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$=k  có giá trị nguyên dương với $a$, $b$ nguyên dương thì nó không thể chia 7 dư 5

[Korkot]

Bài 34: Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+2x+4y^{2}=37$ không có nghiệm nguyên dương.

Pt đã cho tương đương x^2+2x+4y^2-37=0

Pt ẩn x với y là tham số có 2 nghiệm nguyên dương

<=> Delta'= b'^2-ac là scp

<=> 1-4y^2 +37 là scp

<=> 38-4y^2 là scp

Mà 38-4y^2 là số chẵn nên 38-4y^2 chia hết cho 4=> 38 chia hết cho 4 (vô lì)

=> pt không có nghiệm nguyên dương

P/s: bài 32 tương tự bài 28 

[xuanhoan23112002]

Lời giải của mình cho bài 35 như sau:

PT đã cho $\Leftrightarrow y^3=(x^3+1)(x^2+1)$

Do x là số lẻ ta dễ dàng chứng minh được gcd(x³+1,x²+1)=1

$\Rightarrow$ x³+1 là lập phương của 1 số nguyên.

Như vậy, x³ và x³+1 là 2 số nguyên liên tiếp và đều là lập phương của các số nguyên, và theo giả thiết x là số lẻ nên suy ra x= -1

Từ đó thay vào giả thiết tìm được y= 0

Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn bài là (0, -1)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 17-04-2018 - 23:18