Chủ đề này có 271 trả lời

[Tea Coffee]

2. Tìm tất cả p,q nguyên tố sao cho $pq\mid 2^{p}+2^{q}$

C2:

Bài toán có thể giải quyết hoàn toàn bằng cách sử dụng định lý Fecma nhỏ một cách dễ dàng.

Xin được nhắc lại hệ quả của định lý nổi tiếng này: Với $p$ nguyên tố,$a$ là số nguyên bất kỳ và nguyên tố với $p$ thì $a^{p}-a\vdots p$

Solution:

+)T/H1: Xét $p,q$ đều chẵn $=>p=q=2$ thỏa mãn

+)T/H2: Xét $p,q$ có một số lẻ một số chẵn. KMTTQ, giả sử $p$ lẻ $q$ chẵn

$=>q=2$ và $(2,p)=1$

$=>2^{p}+4\vdots 2p$ 

Mà theo định lý Fecma: $2^{p}-2\vdots p$ $=>2^{p+1}-4\vdots 2p=>2^{p+1}+2^{p}\vdots 2p<=> 2^{p}+2^{p-1}\vdots p <=>2^{p-1}(2+1)\vdots p<=>3.2^{p-1}\vdots p$

Do $(2,p)=1$ nên $(2^{p-1},p)=1 =>3\vdots p=>p=3$ thỏa mãn

+)T/H3: Xét $p,q$ đều lẻ

Theo định lý Fecma: $\left\{\begin{matrix}2^{q}-2\vdots q \\ 2^{p}-2\vdots p \end{matrix}\right. =>(2^{q}-2)(2^{p}-2)\vdots pq<=> 2^{p+q}+4-2(2^{p}+2^{q})\vdots pq$

$=>2^{p+q}+4\vdots pq(1)$

Do $2^{p}+2^{q}\vdots pq=>2^{p+q}+4^{p}\vdots pq(2)$

$(1),(2)=>4^{p}-4\vdots pq=>4^{p}-4\vdots p$

Kết hợp với $2^{p}-2\vdots p=>2^{p+1}-4\vdots p=>4^{p}-2^{p+1}\vdots p<=>2^{p}(2^{p}-2)\vdots p=>2^{p}-2\vdots p$ do $p$ lẻ.  

$(2^{p}+2)-(2^{p}-2)\vdots p=>4\vdots p$ vô lý.

Vậy ...

Định lý Fecma và Euler thi chuyên Phan Bội Châu cũng được sử dụng nữa nè không chỉ riêng KHTN đâu.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 19-04-2018 - 22:46

[Kylie Nguyen]

Bài 33: Tìm số nguyên tố $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab}, \overline{cd}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=$\overline{cd}$+b-c$

$\bar{ab}, \bar{cd}$ nguyên tố nên b,d lẻ và khác 5

Do $b^{2}=\bar{cd} +b-c=9c+d+b\geqslant 9+1+1=11 \Rightarrow b>3 th1 b=7 thì 9c+d=42 => d \vdots 3=> d=3 ; 9 d=3 =>c không tồn tại d=9 thì c không tôn tại th1 b=9 => 9c+d=72 => d\vdots 9 =>d=9,c=7,a=1,5,7$

mà $\bar{abcd}$nguyên tố nên là 1979

 

 

TOPIC xấu đi vì những reply kiểu này đấy. Thay vào đó, các bạn có thể trả lời một bài toán cụ thể rồi sau đó trình bày ý kiến của mình về một cái gì đó ở dưới mà theo cách: P/S giống mình đây.

 

 

Bạn làm loãng TOPIC này ^^ nếu ai làm được thì đã gõ đáp án lên rồi.

Rút kinh nghiệm nhé

 

Bài này đã có người làm rồi bạn không được làm lại. VÀ PHẢI GÕ LATEX

Các lỗi trên mong hai bạn cùng các bạn khác phải rút kinh nghiệm để TOPIC đẹp, chất lượng hơn.

P/S: TOPIC tiếp tục nhận các bài số học các bạn đóng góp. Cảm ơn các bạn nhiều.

 

Mình sẽ rút kinh nghiệm. Cam on bạn Tea Coffee đã góp ý

[Tea Coffee]

Bài 33: Tìm số nguyên tố $\overline{abcd}$ sao cho $\overline{ab}, \overline{cd}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=$\overline{cd}$+b-c$

Nhờ anh sửa lại giùm cái đề cho đúng chuẩn LATEX nhé. Em cảm ơn.

Solution:

Do $\overline{abcd},\overline{ab}$ là số nguyên tố nên $b,d=1,3,7,9$

Mặt khác, $b^{2}=\overline{cd}+b-c<=>b(b-1)=9c+d$ $=>c,d$ cùng lẻ hay $c,d\geq 1$

+)T/H1: $b=1=>9c+d=0$ vô lý do $d>0$

+)T/H2: $b=3=>9c+d=6$ vô lý do $c,d\geq 1$

+)T/H3: $b=7=>9c+d=42=>d\vdots 3=>\begin{bmatrix}d=3,c=\frac{39}{9} \\ d=9,c=\frac{33}{9} \end{bmatrix}$ loại

+)T/H4: $b=9=>9c+d=72=>d\vdots 9=>d=9,c=7$

Do $\overline{ab}$ là SNT nên $a=1,2,5,7,8$ thử lại xem $\overline{abcd}$ có là SNT không.

[hoangkimca2k2]

Bài 37: Chứng minh rằng nếu $1+2^{n}+4^{n}(n\in N^{*})$ là số nguyên tố thì $n=3^{k}(k\in N)$

[hoangkimca2k2]

Bài 38: Tìm tát cả các số tự nhiên $n$ sao cho $(n-1)!$ chia hết cho $n$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 18-04-2018 - 00:13

[Kylie Nguyen]

Bài 39: Tìm a,b,c nguyên tố thỏa mãn (a+1)(b+2)(c+3)=4abc 

 

Bài 38: Tìm ba số nguyên tố $p,q,r$ sao cho $p^{q}+q^{p}=r$.

Đây  là bài 12 đã được giải ở trên rồi nhé

[Kylie Nguyen]

Bài 38: Tìm tát cả các số tự nhiên $n$ sao cho $(n-1)!$ chia hết cho $n$.

n=1 thỏa mãn và n=4 không thỏa mãn. Xét n>1 và n khác 4

Từ gt suy ra n là 1 hợp số => n=pq trong đó p,q là các số nguyên dương thỏa mãn $2\leq p,q\leq \begin{bmatrix} \frac{n}{2} \end{bmatrix}$

Trường hợp 1: Nếu p khác q thì trong tích (n-1)! chứa cả 2 số p, q nên (n-1)! chia hết n

Trường hợp 2: Nếu p=q thì p,q>2 trong tích (n-1)! chứa cả p,2p nên (n-1)! chia hết cho n

Vâyj n =1 hoặc là hợp số khác 4

[PhanThai0301]

Bài 34: Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+2x+4y^{2}=37$ không có nghiệm nguyên dương.

 

 Cách khác của mình: Pt <=> $(x+1)^{2}+(2y)^{2}=38\vdots 19$.

                                      Mà 19 là số nguyên tố có dạng 4k + 3 nên $\left\{\begin{matrix} (x+1) \vdots 19& & \\2y\vdots 19 & & \end{matrix}\right.$

                                      => $[(x+1)^{2}+(2y)^{2}]\vdots 19^{2}$

                                      Mà 38 không chia hết cho $19^{2}$.

                                      => pt ko có nghiệm nguyên dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 18-04-2018 - 11:51

[Tea Coffee]

Bài 39: Tìm a,b,c nguyên tố thỏa mãn (a+1)(b+2)(c+3)=4abc 

 

Cách đại lầy của mình :v

Ta có: $(a+1)(b+2)(c+3)=4abc=>(a+1)(b+2)(c+3)\vdots a$

Do $(a,a+1)=1=>(b+2)(c+3)\vdots a=>\begin{bmatrix}b+2\vdots a \\ c+3\vdots a \end{bmatrix}$ vì $a$ là số nguyên tố.

$*)$ Xét $b+2\vdots a$

+ Với $b$ chẵn thì $b=2$ nên $4\vdots a=>a=2$

+ Với $b$ lẻ $=>(2,b)=1$

Ta có: $(a+1)(b+2)(c+3)=4abc=>(a+1)(b+2)(c+3)\vdots b$

$=>(a+1)(c+3)\vdots b$

- Nếu $a+1\vdots b$ kết hợp với $b+2\vdots a=>\left\{\begin{matrix}b+2\geq a> 0 \\ a+1\geq b> 0 \end{matrix}\right. =>(b+2)(a+1)\geq ab<=>1\leq (b-2)(a-1)\leq 4$ vì $a,b$ là số nguyên tố nên đến đây dễ dàng tìm được.

- Nếu $\left\{\begin{matrix}c+3\vdots b \\ b+2\vdots a \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix}c+3=bm \\ b+2=an \end{matrix}\right. (m,n\epsilon \mathbb{N}^{*}) =>(a+1).ab.mn=4abc<=>mn(a+1)=4c$

Suy ra $mn$ và $a+1$ là ước của $4c$ $=>mn,(a+1)=1,2,4,c,2c,4c$

=> $\begin{bmatrix}mn=1,a+1=4c \\ mn=2,a+1=2c \\ mn=4,a+1=c \\ mn=c,a+1=4 \end{bmatrix}$

Sau đó dùng phép thế là ra

$*)$ Xét $c+3\vdots a$ tương tự

[hoangkimca2k2]

Bài 40: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $n+S(n)+S(S(n))=60$, với $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$.

[Tea Coffee]

Khuấy động TOPIC nào:

41) Có bao nhiêu số nguyên dương có $5$ chữ số $\overline{abcde}$ , $\overline{abc}=(10d+e)$sao cho chia hết cho $101$.

42) Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh mọi ước số của $M$ đều là số lẻ.

b) Giả sử $M$ chia hết cho $5$, tìm $a$.Với giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của $5$.

43) Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $60$

44) Tìm cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $5x^{2}+8y^{2}=20412$

45) Cho $S_{n}=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1);(n\epsilon \mathbb{N}^{*})$. CMR: $3.S_{n}.(n+3)+1$ là một SCP.

Cùng với các bài toán tồn đọng sau:

 

Bài 40: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $n+S(n)+S(S(n))=60$, với $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$.

 

Bài 37: Chứng minh rằng nếu $1+2^{n}+4^{n}(n\in N^{*})$ là số nguyên tố thì $n=3^{k}(k\in N)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 18-04-2018 - 17:14

[DOTOANNANG]

46. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho nó có 6 ước dương và tổng các ước của nó bằng 1140.

[hoangkimca2k2]

43) Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $60$

 

 

$(+)$ Chứng minh $xy\vdots 3$. Xét $x,y$ cùng không chia hết cho $3$ thì $x^{2}\equiv 1(mod 3)$ và $y^{2}\equiv 1(mod3)$ nên $z^{2}\equiv 2(mod3)$ (vô lí). Vậy $xyz\vdots 3$

$(+)$ Chứng minh $xyz\vdots 4$

$i)$ Nếu $x,y$ cùng lẻ, giả sử $x=2k+1$ và $y=2l+1$ khi đó $x^{2}+y^{2}=4(k^{2}+l^{2}+l+k)+2$ là số chẵn, không chia hết cho 4 nên $x^{2}+y^{2}$ không thể là số chính phương

$ii)$ Nếu $x,y$ cùng chẵn thì $xyz\vdots 4$

$iii)$ Giả sử $x$ chẵn còn $y$ lẻ khi đó $x=2n;y=2m+1$ khi đó $z$ lẻ đặt $z=2p+1$.

Ta có $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ $\Leftrightarrow 4n^{2}+4m^{2}+4m+1=4p^{2}+4p+1$ 

$\Leftrightarrow n^{2}=p(p+1)-m(m+1)\vdots 2\Rightarrow n\vdots 2\Rightarrow x\vdots 4$. Nên  $xyz\vdots 4$

Phần chứng minh chia hết cho 5 tương tự.

[nguyendangkhanh]

 Bài 12 Tìm bộ ba số nguyên tố $p,q,r$ sao cho $p^q +q^p=r$

vì p và q là số chính phương nên cả 2 số đều lớn hơn hoặc bằng 2

=> r >= 4 tức là >2 mà r là số nguyên tố nên r là số lẻ

- Vì r lẻ nên p,q ko cùng tính chẵn lẻ mà 2 số đó đều nguyên tố nên có 1 số bằng 2

Giả sử p =2 và q lẻ thì 2^q +q² =r

Vì q² chính phương nên q² đồng dư với 0 hoặc 1 (mod3)

Loại q² đồng dư với 1 vì nếu vậy thì 2^q đồng dư với -1(mod 3) vì q lẻ

từ đó suy ra r =3( vô lý vì r>=4 chứng minh trên)

vậy thì q² đồng dư với 0(mod3) nên q chia hết cho 3 mà q nguyên tố nên q=3 nên r=17

- Vậy bộ ba số cần tìm là 2,3,17

P/S: xin lỗi, thật ra cách làm của mình ngắn gọn lắm, nhìn dài là vì mình vừa tham gia nhóm nên chưa biết đánh mấy cái công thức toán học như mấy bạn khác chứ nếu ko thì ngắn lắm

[PhanThai0301]

Bài 40: Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $n+S(n)+S(S(n))=60$, với $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$.

                Ta có: n + S(n) + S(S(n)) = 60.

                => $S(n)\geq 1$ => $n=60-S(n)-S(S(n)\leq 59$.                          (1)

                => $S(n)\leq 5+9=14$.

                => $S(S(n))\leq 9$ vì từ số 1 đến số 14 chỉ có số 9 là số có chữ số lớn nhất.

                => $n=60-S(n)-S(S(n))\geq 37$ .                                                  (2)

                Từ (1) và (2) => $37\leq n\leq 59$.

•       Ta có: $\overline{ab}-a-b=9a\vdots 9$ => $\overline{ab}\equiv a+b(mod9)$. (vì n là số có 2 chữ số)
•        Áp dụng vào bài toán ta có: $n\equiv S(n)(mod9)$ 

                                                              $S(n)\equiv S(S(n))(mod9)$

                 => $n\equiv 2(mod3)$

                 => $n\in {38;41;44;47;50;53;56;59}$

                 Thử lại ta thấy $n\in {44;47;50}$ là thỏa mãn.

[PhanThai0301]

Bài 37: Chứng minh rằng nếu A=$1+2^{n}+4^{n}(n\in N^{*})$ là số nguyên tố thì $n=3^{k}(k\in N)$

         Đặt $n=3^{k}.m$ với (m;3)=1. Ta xét 2 trường hợp sau:

• Nếu $n=3a+1(n\in N^{*})$.

          $1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3^{k}(3a+1)}+4^{3^{k}(3a+1)}=1+b^{3a+1}+b^{6a+2}(với b=2^{3^{k}})$.

          => $1+2^{n}+4^{n}=b(b^{6a+3}-1)+b^{2}(b^{3a}-1)+a^{2}+a+1\vdots (a^{2}+a+1)$ mà $1+2^{n}+4^{n}>a^{2}+a+1$.

          => A là hợp số.

•  Nếu $n=3a+2$ thì cm tương tự A cũng là hợp số.

       => đpcm.

  Mình xin được đưa ra 1 số bài về số chính phương để mn luyện tập.

  47) Có tồn tai số nguyên dương k để $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.

  49) Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.

  48) 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?
        2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
                  $a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$=0. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?

  P/s: bài 48 dành cho chủ topic Tea Coffee hàng đã có chủ các bạn không giải nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 20-04-2018 - 12:17

[Tea Coffee]

   48) 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?

        

 

Mới làm được ý 1 thôi.

Nhận xét: Một số $X$ có số dư khi chia cho $3$ là $a$ khi chỉ khi tổng các chữ số của $X$ có số dư khi chia cho $3$ là $a$ với $a\epsilon 0,1,2.$

Xét tổng $B=1+2+3+...+2007 =\frac{2007.2008}{2}$ $=>B\vdots 9$

$=>A\vdots 9$

Mặt khác $2009\equiv 2(mod3),2008\equiv 1(mod3)=>A+2008^{2007}+2009\vdots 3$

Nhưng $A+2008^{2007}+2009$ không chia hết cho 9 nên không là SCP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 18-04-2018 - 20:14

[conankun]

Khuấy động TOPIC nào:

41) Có bao nhiêu số nguyên dương có $5$ chữ số $\overline{abcde}$ , $\overline{abc}=(10d+e)$sao cho chia hết cho $101$.

42) Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh mọi ước số của $M$ đều là số lẻ.

b) Giả sử $M$ chia hết cho $5$, tìm $a$.Với giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của $5$.

43) Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $60$

44) Tìm cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $5x^{2}+8y^{2}=20412$

45) Cho $S_{n}=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1);(n\epsilon \mathbb{N}^{*})$. CMR: $3.S_{n}.(n+3)+1$ là một SCP.

Cùng với các bài toán tồn đọng sau:

Bài 45:

Ta có: $S_{n}=1.2+2.3+3.4+.....+n(n+1)$ $\Rightarrow 3S_{n}=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-.....-(n-1)n(n+1)+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)\Rightarrow 3S_{n}(n+3)+1=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1$

Đặt $n^2+3n=y$ ta có: $3S_{n}(n+3)+1=y(y+2)+1=(y+1)^2$ là số chính phương (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 18-04-2018 - 20:21

[Korkot]

         Đặt $n=3^{k}.m$ với (m;3)=1. Ta xét 2 trường hợp sau:

• Nếu $n=3a+1(n\in N^{*})$.

          $1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3^{k}(3a+1)}+4^{3^{k}(3a+1)}=1+b^{3a+1}+b^{6a+2}(với b=2^{3^{k}})$.

          => $1+2^{n}+4^{n}=b(b^{6a+3}-1)+b^{2}(b^{3a}-1)+a^{2}+a+1\vdots (a^{2}+a+1)$ mà $1+2^{n}+4^{n}>a^{2}+a+1$.

          => A là hợp số.

•  Nếu $n=3a+2$ thì cm tương tự A cũng là hợp số.

       => đpcm.

  Mình xin được đưa ra 1 số bài về số chính phương để mn luyện tập.

  47) Có tồn tai số nguyên dương k để $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.

  49) Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.

  48) 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?
        2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
                  $a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?

  P/s: bài 48 dành cho chủ topic Tea Coffee hàng đã có chủ các bạn không giải nhé.

Bài 49. KMTTQ. giả sử x>=y =>(x+2)^2>x^2+3x>=x^2+3y> x^2

=> để x^2+3y là scp thì x^2+3y=(x+1)^2 tức là 3y=2x+1=> 3x=(9y-3)/2(1)

y^2+3x>=y^2+3y>=(y+1)^2 và y^2+3x=y^2+ (9/2)y-3/2< (y+3)^2

=>y^2+3x=(y+1)^2 hoặc y^2+3x=(y+2)^2

<=> 3x=2y+1 hoặc 3x=4y+4

Thay (1) vào rồi lập hpt ta được các cặp x,y là (1;1) và (11;16)

P/s: Cho mình làm bài của Tea Coffee được không?

[buingoctu]

bài mình từ post bựa trước này

 

Bài 27: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

           $54x^3-1=y^3$

+ Xét x=0 => y=-1

+ Xét x khác 0

Nhân cả 2 vế của PT cho $4.54x^{3}$ ta được:

$4.54x^3(54x^3)-4.54x^3=(6xy)^3$

<=> $(2.54.x^3)^2-2.2.54x^3+1=(6xy)^3+1<=> (2.54.x^3-1)^2=(6xy)^3+1$

Đặt $2.54.x^3=a ; 6xy=b$ (a,b nguyên)

PT <=> $a^3=b^3+1=(b+1)(b^2-b+1)$

$(b+1;b^2-b+1)=d$

Có $(b+1)^2-(b^2-b+1)$ chia hết d

<=> 3b chia hết d

=> 3 chia hết d hoặc b chia hết 3

Mà b+1=6xy+1 không chia hết 3

=> 3 không chia hết d => b chia hết d => d=1

Đặt $(b+1;b^2-b+1)=(m^2;n^2)$(m khác 1)

Ta đi CM: $(m^2-1)^2>n^2>(m^2-2)^2$( các bạn cố gắng CM nhé, mình quên rùi)

=> pt vô nghiệm

P/s: Đây là đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa 2015-2016

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 18-04-2018 - 20:31