318 replies to this topic

[Korkot]

Bài 12: 

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{a + b + c}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$ (Sưu tầm)

Cm bđt Côsi 3 số trước ( bạn có thể tra google)

Ta có a/b +b/c +c/a>= 3\sqrt[3]{a/b * b/c *c/a}=3

Và a+b+c>= 3sqrt[3]{abc} <=> (a+b+c)/3sqrt[3]{abc} <= 1 

<=> (a+b+c)/sqrt[3]{abc} <= 3

=> đpcm

sorry máy không đánh đươc latex ai giúp mình với

Và xin cho hỏi làm thế nào để post câu hỏi? 

[Korkot]

Bài 14: 

Tìm GTLN và GTNN của $y=x+\sqrt{12-3x^2}$

Edited by MoMo123, 17-04-2018 - 17:12.

[dat102]

Cm bđt Côsi 3 số trước ( bạn có thể tra google)

Ta có a/b +b/c +c/a>= 3\sqrt[3]{a/b * b/c *c/a}=3

Và a+b+c>= 3sqrt[3]{abc} <=> (a+b+c)/3sqrt[3]{abc} <= 1 

<=> (a+b+c)/sqrt[3]{abc} <= 3

=> đpcm

sorry máy không đánh đươc latex ai giúp mình với

Và xin cho hỏi làm thế nào để post câu hỏi? 

Ngược dấu kìa bạn ơi...

[HelpMeImDying]

Bài 13: Cho a, b, c >0 và a+b+c=1. CMR: $5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

bđt $\Leftrightarrow 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})+1\geq 5(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+(a+b+c)^{3}\geq 5ab(a+b)+5bc(b+c)+5ca(c+a)\Rightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3(a+b)(b+c)(c+a)\geq 5ab(a+b)+5bc(b+c)+5ca(c+a)\Leftrightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc)\geq 2(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (đúng theo bđt Schur)

[NHoang1608]

Lâu ngày a cho 1 bài khá hay nhé  

Bài 15: Cho $x,y,z$ thỏa mãn $0 < x,y,z < 1$ và $xy+yz+zx+2xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P= \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}$

Edited by MoMo123, 17-04-2018 - 17:07.

[hoangkimca2k2]

$\boxed{\text{Bài 4}}$ Cho $m,n$ là 2 số tự nhiên sao cho $\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0$
Chứng minh rằng                                 $\sqrt{7}n-m > \frac{1}{m}$

 

$m=1$ thì rõ rồi. Với $m\neq 1$$\Rightarrow m>1$

Ta cần chứng minh $\sqrt{7}n-m > \frac{1}{m}\Leftrightarrow \sqrt{7}n> \frac{1}{m}+m$

$\Leftrightarrow 7n^{2}> m^{2}+\frac{1}{m^{2}}+2$

Lại có: $7n^{2}-m^{2}\geq 3 >2+\frac{1}{m^{2}}$

[hoangkimca2k2]

Bài 16: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$, $a,b,c< \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{1-2a^{2}}{(1-2a)^{2}}+\frac{1-2b^{2}}{(1-2b)^{2}}+\frac{1-2c^{2}}{(1-2c)^{2}}\geq 21$

Edited by MoMo123, 17-04-2018 - 21:13.

[hoangkimca2k2]

Bài 17: Cho $a,b,c>1$ và $a+b+c=abc$. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P= \frac{b-2}{a^{2}}+\frac{c-2}{b^{2}}+\frac{a-2}{c^{2}}$

Edited by MoMo123, 17-04-2018 - 21:25.

[Korkot]

Ngược dấu kìa bạn ơi...

Ở mẫu phải đổi dấu mà?

[HelpMeImDying]

Lâu ngày a cho 1 bài khá hay nhé  

Bài 15: Cho $x,y,z$ thỏa mãn $0 < x,y,z < 1$ và $xy+yz+zx+2xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P= \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}$

$P\leq \sqrt{3(3-x^{2}-y^{2}-z^{2})}$

Từ gt: $1=xy+yz+zx+2\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}\leq xy+yz+zx+\frac{2(xy+yz+zx)\sqrt{xy+yz+zx}}{3\sqrt{3}}$

Đặt $\frac{\sqrt{xy+yz+zx}}{\sqrt{3}}=t$$\Rightarrow 2t^{3}+3t^{2}\geq 1\Leftrightarrow (t+1)^{3}(2t-1)\geq 0\Leftrightarrow t\geq \frac{1}{2}\Rightarrow xy+yz+zx\geq \frac{3}{4}$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx\geq \frac{3}{4}\Rightarrow P\leq \sqrt{3(3-\frac{3}{4})}= \frac{3\sqrt{3}}{2}$

[hoangkimca2k2]

$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z & & \\ x+y+z=3 & & \end{matrix}\right.$
Tìm  Max                         $ P = \frac{x}{y^3+16} +\frac{y}{z^3 +16} +\frac{z}{x^3+16}$

 

 

Ta có: $0\leq x\leq y\leq z$. Khi đó $P\leq \frac{x}{x^{3}+16}+\frac{y}{x^{3}+16}+\frac{z}{x^{3}+16}$

$=\frac{3}{x^{3}+16}$ (vì $x+y+z=3$)$\leq \frac{3}{16}$ ( vì $x\geq 0$)

Edited by hoangkimca2k2, 17-04-2018 - 09:57.

[hoangkimca2k2]

Bài 18: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{a+c}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

Edited by MoMo123, 17-04-2018 - 23:23.

[tr2512]

Bài 19:

Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} \ge \frac{9}{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}$

 (Sưu tầm)

P/s: bài này đừng giải theo kiểu Iran 1996

Edited by MoMo123, 17-04-2018 - 23:20.

[tr2512]

Bài 14: 

Tìm GTLN và GTNN của y=x+sqrt[2]{12-3x^2}

Bạn nên gõ bằng Latex

[Korkot]

Bạn nên gõ bằng Latex

Máy gõ Latex không được . Mình thử nhiều rồi

[thanhdatqv2003]

Ta có: $0\leq x\leq y\leq z$. Khi đó $P\leq \frac{x}{x^{3}+16}+\frac{y}{x^{3}+16}+\frac{z}{x^{3}+16}$

$=\frac{3}{x^{3}+16}$ (vì $x+y+z=3$)$\leq \frac{3}{16}$ ( vì $x\geq 0$)

anh ơi rua dau = xay ra khi x=y=z=0 roi

[hoangkimca2k2]

anh ơi rua dau = xay ra khi x=y=z=0 roi

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ và $z=3$

[thanhdatqv2003]

  

Lại có: $7n^{2}-m^{2}\geq 3 >2+\frac{1}{m^{2}}$

tai sao lai >= 3 vay anh

[thanhdatqv2003]

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ và $z=3$

mà đoan đau ta co P =< .....  thi dau = xay ra khi x=y=z maf

[Hoang Dinh Nhat]

A cũng góp một bài khá hay: 

Bài 20: Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh: $abcxyz<\frac{1}{36}$

Ps: Lâu lắm rồi mới vào lại diễn đàn

Edited by MoMo123, 17-04-2018 - 17:10.