mà đoan đau ta co P =< ..... thi dau = xay ra khi x=y=z maf
à a bị nhầm
mà đoan đau ta co P =< ..... thi dau = xay ra khi x=y=z maf
à a bị nhầm
A cũng góp một bài khá hay:
Bài 20: Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh: $abcxyz<\frac{1}{36}$
Ps: Lâu lắm rồi mới vào lại diễn đàn
$4(ab+bc+ca)(xy+yz+zx)=[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)][(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]$
$=20-(a+b+c)^2(xy+yz+zx)-(x+y+z)^2(ab+bc+ca) \leq 20-2\sqrt{(a+b+c)^2(x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)(x+y+z)^2}=4$
$\Rightarrow (ab+bc+ca)(xy+yz+xz)\leq 1$
$\Rightarrow 1 \geq (ab+bc+ca)^2(xy+yz+xz)^2\geq 9abcxyz(a+b+c)(x+y+z)$ (Do $\left\{\begin{matrix} (ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c) & & \\ (xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z) & & \end{matrix}\right.$ )
$\Rightarrow abcxyz\leq \frac{1}{36}$
Bài 21:
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:
$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$ (Sưu tầm)
P/s: các bạn liệu cần bài khó hơn không
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:49
Bài 11:
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:
$\frac{a}{{\sqrt {\left( {2{\rm{a}} + b} \right)\left( {2{\rm{a}} + c} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {2b + a} \right)\left( {2b + c} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {2c + a} \right)\left( {2c + b} \right)} }} \le 1$ (Nguyễn Việt Hùng)
P/s: các bạn hãy đưa ra các bài phù hợp với lớp 9 một chút
áp dụng BĐT Cauchy- Schwartz
Ta có: $(2a+b)(2a+c)=(a+a+b)(a+c+a)\geq (a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab})^2=a(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2\Rightarrow \sqrt{(2a+b)(2a+c)}\geq \sqrt{a}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{(2a+b)(2a+c)}}\leq \frac{a}{\sqrt{a}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
Cmtt: $\frac{b}{\sqrt{(2b+a)(2b+c)}}\leq \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};\frac{c}{\sqrt{(2c+a)(2c+b)}}\leq \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$
Cộng vế theo vế ta được đpcm
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 17-04-2018 - 14:13
$\sqrt{MF}$ math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$
Bài 12:
Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{a + b + c}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$ (Sưu tầm)
(Sưu tầm Bđt của thầy Phạm Kim Hùng)
Ta nhóm và sử dụng BĐT AM-GM
$3(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})=(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c})+(\frac{2b}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{2c}{a}+\frac{a}{b})\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doraemon123: 17-04-2018 - 15:34
$\sqrt{MF}$ math is like reality that so many problem to solve $\sqrt{MATH}$
tại sao vậy anh.
Chị đấy
Theo BĐT $AM-GM$ thôi ( có dấu trừ nên đổi dấu )
Bài 22:
Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh:
$\frac{{2a + b}}{{3a + 2b + c}} + \frac{{2b + c}}{{3b + 2c + a}} + \frac{{2c + a}}{{3c + 2a + b}} \le \frac{3}{2}$ (Phạm Quốc Sang)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 17-04-2018 - 17:41
TOPIC sôi nổi quá, vui thật đấy
Mình xin đưa ra lời giải cho Bài 3 :
P = $\frac{x}{y^3+16}+\frac{y}{z^3+16}+\frac{z}{x^3+16}$
$A=3-16P= \frac{xy^3}{y^3+16}+\frac{yz^3}{z^3+16}+\frac{zx^3}{x^3+16}$
$\left\{\begin{matrix}y\geq 0 & & \\ (y-2)^2(y+4)\geq 0 & & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow y^3+16 \geq 12y$
Tương tự, ta cũng có $x^3+16 \geq 12x$ ; $z^3+16 \geq 12z$
$ \Rightarrow \sum \frac{xy^3}{y^3+16} \leq \frac{\sum xy^2}{12} \leq \frac{x^2y+xyz+yz^2}{12}$
$=\frac{y(x^2+xz+z^2)}{12} \leq \frac{y(x+z)^2}{12}= \frac{y(3-y)^2}{12}$
$=\frac{2y(3-y)^2}{24} \leq \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P \geq \frac{1}{6}$
Dấu bằng xảy ra tại $x=0;y=1;z=2$
P/s: Topic còn nhiều bài quá, các bạn cố gắng giải nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:48
Bài 23:
Cho các số thực không âm a, b, c mà trong đó không có 2 số nào đồng thời bằng 0.
Chứng minh:
$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{4{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge 2$ (Schur)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 17-04-2018 - 17:48
Bài 6: Cho a, b, c>0 thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:
$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$ (Phạm Kim Hùng)
Bài 7: Cho a, b là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:
$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$ (Vasile Cirtoaje)
Mình xin đưa ra lời giải hai bài này
Bài 6:
Ta có: $\frac{a+1}{b+1}=a+1-\frac{b(a+1)}{b+1}$ nên BĐT quy về chứng minh:
$\sum \frac{b(a+1)}{b+1}\geq 3$.
Bất đẳng thức trên đúng theo AM - GM 3 số kết hợp với điều kiện $abc=1$
Bài 7:
Theo AM - GM ta có:
$a^3+b^3+1\geq 3ab\Rightarrow ab\leq 1$; $a^3+1+1\geq 3a\Rightarrow 3a\leq a^3+2=4-b^3$; $3b\leq 4-a^3$.
Từ đó ta có:
$3(a^4+b^4)+2a^4b^4=3a.a^3+3b.b^3+2a^3b^3.ab\leq (4-b^3)a^3+(4-a^3)b^3+2a^3b^3=4(a^3+b^3)=8$
$\sqrt[LOVE]{MATH}$
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I
do mathematics to keep happy" - Alfréd Rényi
A cũng góp một bài khá hay:
Bài 20: Cho $a,b,c,x,y,z>0$ thỏa mãn $(a+b+c)(x+y+z)=(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=4$. Chứng minh: $abcxyz<\frac{1}{36}$
Ps: Lâu lắm rồi mới vào lại diễn đàn
Xét $4(\sum ab)(\sum xy)=((\sum a)^2-\sum a^2)((\sum x)^2-\sum x^2)=20-(\sum a^2)(\sum x)^2-(\sum x^2)(\sum a)^2$
$\leq 20-2(\sum a)(\sum x)\sqrt{(\sum a^2)(\sum x^2)}=4$
$1\geq (\sum ab)(\sum xy)\geq 3\sqrt{abcxyz(a+b+c)(x+y+z}=6\sqrt{abcxyz}$
$abcxyz\leq \frac{1}{36}$
Little Homie
Bài 21:
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:
$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{{64}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$ (Sưu tầm)
P/s: các bạn liệu cần bài khó hơn không
Sử dụng $AM-GM$
Little Homie
Bất đẳng thức của bạn sai rồi vế phải là $\frac{3}{\sqrt{2}}$
Xin lỗi xuanhoan23112002 và các bạn đang theo dõi topic do sơ suất nên đã đánh máy nhầm.
Mong các bạn thông cảm
P/s: đã sửa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 17-04-2018 - 20:09
Bài 24: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0$. Chứng minh rằng $\sum_{cyc}\frac{a^{2}-bc}{2a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 0$
Bài 25: Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và a+b+c=3
1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M =$a^2+b^2+c^2$
2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của N =$a^3+b^3+c^3$
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của H =$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
P/s: Mỗi câu là 1 bài toán riêng mình ghép chung thành 1 bài
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 17-04-2018 - 20:47
Bài 26: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=100$
Xác định giá trị lớn nhất của M =$11xy+3xz+2012yz$
Bài 16: Với $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$, $a,b,c< \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng $\frac{1-2a^{2}}{(1-2a)^{2}}+\frac{1-2b^{2}}{(1-2b)^{2}}+\frac{1-2c^{2}}{(1-2c)^{2}}\geq 21$
Ta có bổ đề quen thuộc $\sum \frac{a}{b+c-a} \geq 3$
$\sum \frac{1-2a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}+\frac{2a^2}{(1-2a)^2}$
$\sum \frac{1-4a^2}{(1-2a)^2}=\sum \frac{(a+b+c)^2-4a^2}{(b+c-a)^2}=\sum \frac{b+c+3a}{b+c-a}=3+\sum \frac{4a}{b+c-a }\geq 15$
$\sum \frac{2a^2}{(b+c-a)^2} \geq \sum \frac{2}{3}(\sum \frac{a}{b+c-a})^2\geq 6$
$-> P \geq 21$
Sử dụng $AM-GM$
Nếu có thể hãy đưa ra lời giải cụ thể ?
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh