Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ LỚP $10$ năm $2018-2019$

bất đẳng thức holder cosi bunhiacopxki

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 318 trả lời

#261 Tea Coffee

Tea Coffee

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 738 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 03-05-2018 - 00:09

$\boxed{\text{Bài 114}}$ Cho các số thực $a,b,c$ dương thỏa mãn 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=3 $

Tìm Max của biểu thức

$ P=\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2}$

 

$P=\sum \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}\leq \sum \frac{1}{16}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})^{2}\leq \sum \frac{1}{256}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}=\sum \frac{1}{256}(\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{4}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{4}{ac})=\frac{1}{256}(\frac{6}{a^{2}}+\frac{6}{b^{2}}+\frac{6}{c^{2}}+\frac{10}{ab}+\frac{10}{bc}+\frac{10}{ac})\leq \frac{1}{256}.16(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=\frac{3}{16} <=>a=b=c=1$


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#262 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 578 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 03-05-2018 - 22:38

Bài 119: Cho các số dương a, b, c sao cho $a+b+c+2=abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq 2$

(Sưu tầm)


DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#263 Tea Coffee

Tea Coffee

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 738 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 03-05-2018 - 23:09

Bài 119: Cho các số dương a, b, c sao cho $a+b+c+2=abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}\geq 2$

(Sưu tầm)

$a+b+c+2=abc=>\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1$

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{a+1} \\ y=\frac{1}{b+1} \\ z=\frac{1}{c+1} \end{matrix}\right. (x,y,z> 0;x+y+z=1)$

Ta CM: $\frac{y(y+z)}{x}+\frac{z(z+x)}{y}+\frac{x(x+y)}{z}\geq 2$

Mà $\frac{y^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{y}+\frac{x^{2}}{z}\geq x+y+z=1$

$\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq x+y+z=1$

$=>$ $\frac{y(y+z)}{x}+\frac{z(z+x)}{y}+\frac{x(x+y)}{z}\geq 2$

$<=>a=b=c=2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 03-05-2018 - 23:14

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#264 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 578 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 04-05-2018 - 18:37

$a+b+c+2=abc=>\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1$

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{a+1} \\ y=\frac{1}{b+1} \\ z=\frac{1}{c+1} \end{matrix}\right. (x,y,z> 0;x+y+z=1)$

Ta CM: $\frac{y(y+z)}{x}+\frac{z(z+x)}{y}+\frac{x(x+y)}{z}\geq 2$

Mà $\frac{y^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{y}+\frac{x^{2}}{z}\geq x+y+z=1$

$\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\geq x+y+z=1$

$=>$ $\frac{y(y+z)}{x}+\frac{z(z+x)}{y}+\frac{x(x+y)}{z}\geq 2$

$<=>a=b=c=2$

Bạn Tea Coffee đã hiểu đúng ý tưởng người ra đề nhưng làm thế này sẽ nhanh và gọn hơn  :icon6:  :icon6:

Lời giải:

$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1}=\left ( \frac{a+1}{b+1}+\frac{b+1}{c+1}+\frac{c+1}{a+1} \right )-\sum \frac{1}{a+1}\geq 3-\sum \frac{1}{a+1}=2$


DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#265 taconghoang

taconghoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 119 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Hình học phẳng , my girl <3

Đã gửi 04-05-2018 - 19:39

Bài 120 : Cho các số a,b,c thỏa mãn a<b<c ; a+b+c=6 và ab+bc+ca=9. Chứng minh rằng a,b,c là các số dương và a<1<b<3<c<4. 



#266 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 04-05-2018 - 22:06

$\boxed{\text{Bài 113}}:$ Với a, b là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$ M=(a+b)(\frac{1}{a^3+b}+\frac{1}{b^3+a})-\frac{1}{ab}$

 

Áp dụng bất đẳng thức C-S:

$({a^3} + b)(\frac{1}{a} + b) \ge {(a + b)^2}\\ ({b^3} + a)(\frac{1}{b} + a) \ge {(a + b)^2}$

Do đó:

$\frac{1}{{{a^3} + b}} + \frac{1}{{{b^3} + a}} \le \frac{{a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}{{{{(a + b)}^2}}}$

Rút gọn thu được$ VT\le1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 04-05-2018 - 22:06


#267 thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Hải Tặc
  • Sở thích:$\boxed{\text{ONE PIECE}\bigstar}$

Đã gửi 05-05-2018 - 17:36

Bài 121: Cho các số thực dương x,y,z thay đổi thỏa mãn : $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leq 18$

Tìm GTNN của biểu thức: A=$\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 06-05-2018 - 07:25

:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#268 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 578 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 05-05-2018 - 18:14

Bài 121: Cho các số thực dương x,y,z thay đổi thỏa mãn : $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leq 18$

Tìm GTNN của biểu thức: A=$\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$

Ta có:

$18\geq x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)=x^2+y^2+z^2+x+y+z\Leftrightarrow 30\geq (x^2+4)+(y^2+4)+(z^2+4)+(x+y+z)\geq 5(x+y+z)\Rightarrow x+y+z\leq 6$

Suy ra:

$A=\sum \frac{1}{x+y+1}\geq \frac{9}{2(x+y+z)+3}\geq \frac{3}{5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 05-05-2018 - 18:14

DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#269 thanhdatqv2003

thanhdatqv2003

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo Hải Tặc
  • Sở thích:$\boxed{\text{ONE PIECE}\bigstar}$

Đã gửi 05-05-2018 - 19:37

Bài 121: Cho các số thực dương x,y,z thay đổi thỏa mãn : x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)$\leq 18

Tìm GTNN của biểu thức: A=$\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}$

C2: Ta có $x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\leq 18 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+x+y+z\leq 18$ (1)

Ta lại có $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) Suy ra $\frac{(x+y+z)^2}{3}+x+y+z\leq 18 \Leftrightarrow (x+y+z+9)(x+y+z-6)\leq 0 \Rightarrow x+y+z\leq 6$

Đoạn còn lại làm giống bạn KHOA


:ohmy: [Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.  (FERMAT)  :ohmy: 

 

 

 

 


#270 dragon ball super

dragon ball super

    Binh nhất

  • Banned
  • 23 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K53-HSGS
  • Sở thích:math;anime;IMO and want to come to another world

Đã gửi 06-05-2018 - 09:55

Bài 122:

a;b;c>0;a+b+c $\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

CMR:$\sum \frac{a}{\sqrt{2a^2+b^2}+\sqrt{3}}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$

 

                                                           


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dragon ball super: 06-05-2018 - 23:45

 
 
" Hãy luôn vươn tới bầu trời, vì nếu không chạm tới những vì sao sáng  thì bạn cũng
 
 
 ở giữa những vì tinh tú ..."

                                                                   

                                                                                                                    -Khuyết Danh-       

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:   :ukliam2:


#271 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 08-05-2018 - 22:54

P/s: Topic dạo này buồn quá. Bài mới nha mọi người

Bài 123: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 1$. Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)\geq \sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Chúc 2k3 thi tốt bình tĩnh, tự tin, chiến thắng đạt được những mục tiêu đã đề ra!

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 08-05-2018 - 22:56


#272 Diepnguyencva

Diepnguyencva

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hà, Hải Dương
  • Sở thích:Đọc sách, học bất đẳng thức

Đã gửi 10-05-2018 - 20:28

Bài 124: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng :

                                 $\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+ \frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(a+c)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

                                                                                     (Đề thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2005)



#273 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 578 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 10-05-2018 - 20:36

Bài 124: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng :

                                 $\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+ \frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(a+c)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

                                                                                     (Đề thi chọn đội tuyển quốc gia dự thi IMO 2005)

Ta viết lại BĐT dưới dạng 

$\sum \frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^3}\geq \frac{3}{8}$

Đặt $\frac{b}{a}=x;\frac{c}{b}=y;\frac{a}{c}=z\Rightarrow xyz=1$

Áp dụng AM- GM ta có:

$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}.\frac{1}{(x+1)^2}$

Thiết lập các BĐT tương tự ta quy về chứng minh:

$\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2}\geq \frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT phụ sau ta có:

$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}\geq \frac{3}{4}\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{z+1}-\frac{1}{2} \right )^2\geq 0$

Suy ra ĐPCM


DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#274 dat102

dat102

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Biên Hòa, Đồng Nai
  • Sở thích:Bóng đá, Toán và Hóa

Đã gửi 11-05-2018 - 14:01

Bài 120 : Cho các số a,b,c thỏa mãn a<b<c ; a+b+c=6 và ab+bc+ca=9. Chứng minh rằng a,b,c là các số dương và a<1<b<3<c<4.

Đây là 1 bài trong đề thi thử PTNK lần 1.

Tham khảo đáp án tại đây: https://drive.google...MRVclplvUr/view


:ukliam2:  $\sqrt{MF}$  :ukliam2: 


#275 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 332 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Trường}$ $\boxed{\text{THPT Chuyên KHTN}}$

Đã gửi 14-05-2018 - 18:38

Khuấy đảo topic lại nào

$\boxed{\text{Bài 125}}$ Cho a,b,c là các số thực dương

Chứng minh $$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b} \geq 3+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$$

$\boxed{\text{Bài 126}}$ Cho a,b,c  là các số thực dương

Chứng minh $$\frac{2a^2+ab}{(a+b+\sqrt{ca})^2}+\frac{2b^2+bc}{(b+c+\sqrt{ab})^2}+\frac{2c^2+ca}{(c+a+\sqrt{bc})^2} \geq 1$$

 

$\boxed{\text{Bài 127}}$ Cho a,b,c là các số thực dương

Chứng minh rằng $$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a}) \geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 14-05-2018 - 18:38


#276 phamhuy1801

phamhuy1801

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 20:32

Khuấy đảo topic lại nào

$\boxed{\text{Bài 125}}$ Cho a,b,c là các số thực dương

Chứng minh $$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b} \geq 3+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$$

 

Ta đã biết:

$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}-3=\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)}+\frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)}$
Nên bất đẳng thức ban đầu tương đương với:
$(a-b)^2[\frac{1}{(c+a)(c+b)}-\frac{1}{(a+b+c)^2}]+(b-c)^2[\frac{1}{(a+b)(a+c)}-\frac{1}{(a+b+c)^2}]+(c-a)^2[\frac{1}{(b+a)(b+c)}-\frac{1}{(a+b+c)^2}] \ge 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2\frac{(a^2+b^2+ab+bc+ca)}{(c+a)(c+b)(a+b+c)^2}+(b-c)^2\frac{(b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b)(a+c)(a+b+c)^2}+(c-a)^2\frac{(a^2+c^2+ab+bc+ca)}{(b+a)(b+c)(a+b+c)^2} \ge 0$ (đúng với $a,b,c$ dương)


#277 HelpMeImDying

HelpMeImDying

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-05-2018 - 20:48

P/s: Topic dạo này buồn quá. Bài mới nha mọi người

Bài 123: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 1$. Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)\geq \sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}$

 

Chúc 2k3 thi tốt bình tĩnh, tự tin, chiến thắng đạt được những mục tiêu đã đề ra!

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

$\sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})= 2\sqrt{2(ab+ac)(a^{2}+ab+bc+ca)}+2\sqrt{2(ab+bc)(b^{2}+ab+bc+ca)}+2\sqrt{2(cb+ac)(c^{2}+ab+bc+ca)}\leq a^{2}+ab+bc+ca+ab+ac+b^{2}+ab+bc+ca+ab+bc+c^{2}+ab+bc+ca+cb+ac=a^{2}+b^{2}+c^{2}+7(ab+bc+ca)$



#278 kphanhoang121

kphanhoang121

    Binh nhì

  • Banned
  • 14 Bài viết

Đã gửi 17-05-2018 - 01:00

Bài 128: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Chứng minh $\frac{1}{4-\sqrt[2]{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\leqslant 1$



#279 kphanhoang121

kphanhoang121

    Binh nhì

  • Banned
  • 14 Bài viết

Đã gửi 17-05-2018 - 15:14

 

 

$\boxed{\text{Bài 127}}$ Cho a,b,c là các số thực dương

Chứng minh rằng $$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a}) \geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$$

Đặt $\frac{a}{b}=x ;\frac{b}{c}=y;\frac{c}{a}=z$

BĐt trở thành: Chứng minh $(1+x)(1+y)(1+z)\geqslant 2(1+\sqrt[3]{\frac{x}{z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{x}}+\sqrt[3]{\frac{z}{y}})$

VT=$1+xyz+xy+yz+zx+x+y+z=2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+z+x+y$(vì xyz=1)

vậy cần chứng minh:$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+x+y+z\geqslant 2(\sqrt[3]{\frac{x}{z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{x}}+\sqrt[3]{\frac{z}{y}})$

ta có các BĐT:$\frac{1}{x}+x\geqslant 2$ Tương tự vs y và z)

3.VT$\geqslant 2(x+\frac{1}{z}+1+y+\frac{1}{x}+1+z+\frac{1}{y}+1)\geqslant 6(\sqrt[3]{\frac{x}{z}}+\sqrt[3]{\frac{y}{x}}+\sqrt[3]{\frac{z}{y}})$

BĐT dc cm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kphanhoang121: 17-05-2018 - 15:17


#280 HelpMeImDying

HelpMeImDying

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-05-2018 - 18:46

 

$\boxed{\text{Bài 126}}$ Cho a,b,c  là các số thực dương

Chứng minh $$\frac{2a^2+ab}{(a+b+\sqrt{ca})^2}+\frac{2b^2+bc}{(b+c+\sqrt{ab})^2}+\frac{2c^2+ca}{(c+a+\sqrt{bc})^2} \geq 1$$

 

Áp dụng bất đẳng thức B.C.S

$\sum \frac{2a^{2}+ab}{(a+b+\sqrt{ca})^{2}}=\sum \frac{(a^{2}+a^{2}+ab)(1+\frac{c}{a}+\frac{b}{a})}{(1+\frac{c}{a}+\frac{b}{a})(a+b+\sqrt{ca})^{2}}\geq \sum \frac{(a+b+\sqrt{ca})^{2}}{(a+b+\sqrt{ca})^{2}(1+\frac{c}{a}+\frac{b}{a})}= \sum \frac{a}{a+b+c}=1$







5 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 5 khách, 0 thành viên ẩn danh