Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ LỚP $10$ năm $2018-2019$

bất đẳng thức holder cosi bunhiacopxki

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 318 trả lời

#281 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 332 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Trường}$ $\boxed{\text{THPT Chuyên KHTN}}$

Đã gửi 17-05-2018 - 20:11

Khuấy đảo topic lại nào

$\boxed{\text{Bài 125}}$ Cho a,b,c là các số thực dương

Chứng minh $$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b} \geq 3+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$$

$\boxed{\text{Bài 126}}$ Cho a,b,c  là các số thực dương

Chứng minh $$\frac{2a^2+ab}{(a+b+\sqrt{ca})^2}+\frac{2b^2+bc}{(b+c+\sqrt{ab})^2}+\frac{2c^2+ca}{(c+a+\sqrt{bc})^2} \geq 1$$

 

$\boxed{\text{Bài 127}}$ Cho a,b,c là các số thực dương

Chứng minh rằng $$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a}) \geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$$

Mình xin đưa ra 1 lời giải khác của bài 127.

Đặt $x=\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$ $y=\frac{b}{\sqrt[3]{abc}}$ ; $z=\frac{c}{\sqrt[3]{abc}}$

$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{a}{b}$ ;$ \frac{y}{z}=\frac{b}{c}$; $\frac{z}{x} =\frac{c}{a}$ và xyz =1

Bất đẳng thức cần Chứng minh tương đương

$$(x+y)(y+z)(z+x) \geq 2(1+x+y+z)$$

Ta có: $$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)  -xyz =(x+y+z)(xy+yz+zx) -1$$

Tức ta cần chứng minh $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2) \geq 3(1)$$

Ta có $$x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}=1$$

$$xy+yz+zx \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$$ Nên (1) được chứng minh



#282 Le Hoang Anh Tuan

Le Hoang Anh Tuan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-05-2018 - 16:06

Bài 129: $a, b, c \geqslant 0, a+b+c=1$

Chứng minh: $\frac{1}{1+6a^{2}} + \frac{1}{1+6b^{1}}+\frac{1}{1+6c^{2}} \geqslant \frac{9}{5}$



#283 tr2512

tr2512

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 264 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 18-05-2018 - 17:40

Bài 129: $a, b, c \geqslant 0, a+b+c=1$

Chứng minh: $\frac{1}{1+6a^{2}} + \frac{1}{1+6b^{1}}+\frac{1}{1+6c^{2}} \geqslant \frac{9}{5}$

 Giả sử $c=$min$\{a,b,c\}$
 Nếu $c \ge \frac{1}{12}$, ta sẽ đi chứng minh:
 $$\frac{1}{6c^2+1} \ge -\frac{36}{25}(c-\frac{1}{3})+\frac{3}{5}$$
 $$ \Leftrightarrow \frac{2(3c-1)^2(12c-1)}{25(6c^2+1)} \ge 0$$
Bất đẳng thức trên luôn đúng do $c \ge \frac{1}{12} $
Lập 2 bất đẳng thức tương tự thu được điều phải chứng minh.
Nếu $c \le \frac{1}{12}$
Ta sẽ đi chứng minh:
$$ \frac{1}{6a^2+1} \ge -\frac{24}{25}(a-\frac{1}{2}) +\frac{2}{5}$$
$$ \Leftrightarrow  \frac{3(2a-1)^2(12a+1)}{25(6a^2+1)} \ge 0 $$
Bất đẳng thức này luôn đúng.
Lập 2 bất đẳng thức như vậy với $a, b$ thu được:
$$\frac{1}{6a^2+1}+\frac{1}{6b^2+1} \ge \frac{24}{25}c+\frac{4}{5}$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$$\frac{24c}{25}+\frac{4}{5}+\frac{1}{6c^2+1} \ge \frac{9}{5}$$
$$ \Leftrightarrow \frac{6c(24c^2-25c+4)}{25(6c^2+1)} \ge 0$$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng do $0 \le c \le \frac{1}{12}$.
Hoàn tất chứng minh.
Bất đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ hoặc $a=b=\frac{1}{2}, c=0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 20-05-2018 - 10:00


#284 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 578 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 18-05-2018 - 20:16

Bài 129: $a, b, c \geqslant 0, a+b+c=1$

Chứng minh: $\frac{1}{1+6a^{2}} + \frac{1}{1+6b^{2}}+\frac{1}{1+6c^{2}} \geqslant \frac{9}{5}$

 

Ta viết BĐT lại thành: $\sum \frac{25a^2}{6a^2+1}\leq 5$

Ta có: $6a^2+1=6a^2+(a+b+c)^2=2(2a^2+bc)+3a^2+b^2+c^2+2a(b+c)=2(2a^2+bc)+3a^2+b^2+c^2+2a(1-a)=2(2a^2+bc)+(a^2+b^2+c^2)+2a$

 

Áp dụng Cauchy - Schwarz ta có: 

$\sum \frac{(2a+a+2a)^2}{2(2a^2+bc)+(a^2+b^2+c^2)+2a}\leq 2\sum \frac{a^2}{2a^2+bc}+\sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+2(a+b+c) \leq 5$

Suy ra đpcm. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 18-05-2018 - 20:17

DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#285 quynhanhlh7

quynhanhlh7

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K60 THPT Chuyên Biên Hòa Hà Nam

Đã gửi 21-05-2018 - 09:20

130. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc

CMR: $\frac{1}{\sqrt{a^{3} +b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b^{3}+c}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c^{3}+a}}$ $\leq \frac{3}{^{\sqrt{2}}}$



#286 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:football

Đã gửi 21-05-2018 - 16:29

Bài 131: CMR với a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3 thì

                         $\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}a}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$.

Bài 132: Cho a, b, c là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

                        $\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 24-05-2018 - 23:04

"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10

                                                                                                            


#287 BurakkuYokuro11

BurakkuYokuro11

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT Chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Literature}$

Đã gửi 22-05-2018 - 00:08

Khuấy đảo topic lại nào . Mình xin gửi tặng topic 1 bài : 
Bài 133 : Cho a,b,c là các số thực dượng thỏa mãn ab+bc+ac 
$\leq$ 3abc .CMR :
     
$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}} + \sqrt{\frac{c^{2}+b^{2}}{c+b}}+ \sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{a+c}} +3 \leq \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{c+b}+\sqrt{a+c})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BurakkuYokuro11: 22-05-2018 - 00:09

A beautiful and pure love story passed, a boring truth of social is happening and a dream faded away...

 

Vòng bao tuổi cây để Lớn lên, vòng bao đời tôi để lãng quênvòng quay ngày đêm ngập tinh tú căng tràn giấc êm... Vòng ôm tuổi thơ là tiếng ruvòng tay tình nhân là chiếc hôn, vòng quanh mặt trăng cùng trái đất xoay tròn khoảng không...nhớ mong ... tiếng ai ...vắng xa..

 

Anh ... bão hoà sóng gió... để kết tinh một đời..thảnh thơi ...bão hoà dối gian ...để kết tinh lòng thành... Thời Tôi... bão hoà kí ức ...để kết tinh hiện tại.. còn Ta...bão hoà vắng xa lại ngỡ như gần hơn

....

 

 


#288 Lao Hac

Lao Hac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:( ͡° ͜ʖ ͡°)
  • Sở thích:( ͡° ͜ʖ ͡°)

Đã gửi 26-05-2018 - 15:24

Bài 131: CMR với a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3 thì

                         $\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}a}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$.

 

Bài 131:

$\frac{a^2b}{2a+b}+\frac{b^2c}{2b+c}+\frac{c^2a}{2c+a}$

BĐT trên $= \frac{a^2b}{a+a+b}+\frac{b^2c}{b+b+c}+\frac{c^2a}{c+c+a}$

$\leq \frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}+\frac{b^2c}{3\sqrt[3]{b^2c}}+\frac{c^2a}{3\sqrt[3]{c^2a}}$

$= \frac{\sqrt[3]{a^2b}^2+\sqrt[3]{b^2c}^2+\sqrt[3]{c^2a}^2}{3}$ = $\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}+\sqrt[3]{b^4c^2}+\sqrt[3]{c^4a^2}}{3}$

Có: $\sqrt[3]{a^4b^2}+\sqrt[3]{b^4c^2}+\sqrt[3]{c^4a^2}$  

$\leq \frac{a^2+ab+ab}{3}+\frac{b^2+cb+cb}{3}+\frac{c^2+ac+ac}{3}$

$=\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3$

Vậy $\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}+\sqrt[3]{b^4c^2}+\sqrt[3]{c^4a^2}}{3}\leq \frac{3}{3}=1$

Vậy $\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}a}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$

$Q.E.D$

( Cảm ơn anh MoMo123 và anh Korkot đã sửa giúp em :) )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 01-06-2018 - 08:04

[email protected] (7 - 4)(8 - 2)(2 - 3)(5 - 2)(7 - 4)


#289 Lao Hac

Lao Hac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:( ͡° ͜ʖ ͡°)
  • Sở thích:( ͡° ͜ʖ ͡°)

Đã gửi 26-05-2018 - 21:43

BÀI 134

Cho $a,b,c$ dương

CMR: 

$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ba}}\geq 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 31-05-2018 - 22:33

[email protected] (7 - 4)(8 - 2)(2 - 3)(5 - 2)(7 - 4)


#290 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 332 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Trường}$ $\boxed{\text{THPT Chuyên KHTN}}$

Đã gửi 26-05-2018 - 22:32

Khuấy đảo topic lại nào . Mình xin gửi tặng topic 1 bài : 
Bài 133 : Cho a,b,c là các số thực dượng thỏa mãn ab+bc+ac 
$\leq$ 3abc .CMR :
     
$\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}} + \sqrt{\frac{c^{2}+b^{2}}{c+b}}+ \sqrt{\frac{a^{2}+c^{2}}{a+c}} +3 \leq \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{c+b}+\sqrt{a+c})$

Đây là lời giải của HelpMelmDying, trình bày ra vậy

Ta có $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}} +\sqrt{\frac{2ab}{a+b}} \leq \sqrt{2(a+b)}$

Tương tự các biến còn lại nên ta được 

$$\sum \sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}}+\sqrt{\frac{2ab}{a+b}} \leq \sum \sqrt{2(a+b)}$$

Cần chứng minh $\sum \sqrt\frac{2ab}{a+b} \geq 3$

Ta có $\sum\sqrt\frac{2ab}{a+b}=\sqrt{2abc}(\sum \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}})\geq\sqrt{2abc}(\frac{9}{\sum\sqrt{a(b+c)}})\geq \sqrt{2abc}{\frac{9}{\sqrt{6(ab+bc+ca)}}}=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 26-05-2018 - 22:32


#291 anhduc2912

anhduc2912

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:Tổ hợp, hình học

Đã gửi 26-05-2018 - 23:16

bài 130

 

130. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn ab+bc+ca=3abc

CMR: $\frac{1}{\sqrt{a^{3} +b}}$ + $\frac{1}{\sqrt{b^{3}+c}}$ + $\frac{1}{\sqrt{c^{3}+a}}$ $\leq \frac{3}{^{\sqrt{2}}}$

từ giả thiết suy ra$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương $a^{3}+b\geq 2a\sqrt{ab} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^{3}+b}}\leq \frac{1}{\sqrt{$\frac{1}

lại có {\sqrt{2a\sqrt{ab}}}=\frac{\sqrt{2a\sqrt{ab}}}{{2a\sqrt{ab}}}$$

áp dụng bất đẳng thức cauchy cho a và $\sqrt{ab}$

suy ra  $a+\sqrt{ab}\geqslant 2\sqrt{a\sqrt{ab}} \Rightarrow \frac{2\sqrt{a\sqrt{ab}}}{2\sqrt{2}a\sqrt{ab}}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \frac{a+\sqrt{ab}}{a\sqrt{ab}}= \frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot \left ( \frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{a} \right )$

tương tự ta được về trái bất đẳng thức sẽ $\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}})\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}(\frac{2}{c}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b})=\frac{3}{\sqrt{2}}(dpcm)$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhduc2912: 26-05-2018 - 23:17


#292 Unrruly Kid

Unrruly Kid

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Gái,Toán

Đã gửi 27-05-2018 - 16:36

134) $(\sum a^{\frac{4}{3}})^{2}-a^{\frac{8}{3}}=(b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})(2a^{\frac{4}{3}}+b^{\frac{4}{3}}+c^{\frac{4}{3}})\geq 2(bc)^{\frac{4}{3}}.4a^{\frac{2}{3}}.bc^{\frac{1}{3}}$

$\Rightarrow (\sum a^{\frac{4}{3}})^{2}\geqslant a^{\frac{8}{3}}+8bc.a^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a^{2}+8bc)$

$\Rightarrow \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geqslant \frac{a^{\frac{4}{3}}}{\sum a^{\frac{4}{3}}}$

Thiết lập các bđt tương tự suy ra điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Unrruly Kid: 27-05-2018 - 16:43

Đôi khi ngươi phải đau đớn để nhận thức, vấp ngã để trưởng thành, mất mát để có được, bởi bài học lớn nhất của cuộc đời được dạy bằng nỗi đau.

#293 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:football

Đã gửi 27-05-2018 - 18:09

BÀI 134

CMR: 

A=$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ba}}\geq 1$

  Cách 1: Sử dụng BĐT Holder cách này đã trình bày nhiểu trên diễn dàn.

  Cách 2: Ta chọn số dương r sao cho:

                     $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+bc}}\geq \frac{a^{2r}}{a^{2r}+2(bc)^{r}}$

                BĐT tương đương với $a^{2}(a^{2r}+2(bc)^{r})^{2}\geq (a^{2}+bc)a^{4r}$.

                                           <=> $b^{2r}c^{2r}+a^{2r}b^{r}c^{r}\geq 2a^{4r-2}bc$.   

                Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

                          $b^{2r}c^{2r}+a^{2r}b^{r}c^{r}\geq 2a^{r}b^{\frac{3r}{2}}c^{\frac{3r}{2}}$.

                Để dấu "=" thì $r=4r-2;3r=2$ <=> $r=\frac{2}{3}$.

                Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

                          $A\geq \frac{a^{2r}+b^{2r}+c^{2r}}{a^{2r}+b^{2r}+c^{2r}}=1$ (Q.E.D)

               Dấu bằng xảy ra khi <=> a = b = c.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhanThai0301: 27-05-2018 - 18:12

"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10

                                                                                                            


#294 Lao Hac

Lao Hac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:( ͡° ͜ʖ ͡°)
  • Sở thích:( ͡° ͜ʖ ͡°)

Đã gửi 27-05-2018 - 19:59

  Cách 1: Sử dụng BĐT Holder cách này đã trình bày nhiểu trên diễn dàn.

  Cách 2: Ta chọn số dương r sao cho:

                     $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+bc}}\geq \frac{a^{2r}}{a^{2r}+2(bc)^{r}}$

                BĐT tương đương với $a^{2}(a^{2r}+2(bc)^{r})^{2}\geq (a^{2}+bc)a^{4r}$.

                                           <=> $b^{2r}c^{2r}+a^{2r}b^{r}c^{r}\geq 2a^{4r-2}bc$.   

                Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

                          $b^{2r}c^{2r}+a^{2r}b^{r}c^{r}\geq 2a^{r}b^{\frac{3r}{2}}c^{\frac{3r}{2}}$.

                Để dấu "=" thì $r=4r-2;3r=2$ <=> $r=\frac{2}{3}$.

                Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

                          $A\geq \frac{a^{2r}+b^{2r}+c^{2r}}{a^{2r}+b^{2r}+c^{2r}}=1$ (Q.E.D)

               Dấu bằng xảy ra khi <=> a = b = c.

Mình có cách khác hay hơn cho bài này :icon6:

$<=>\frac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ba}}$

$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{{a\sqrt{a^2+8bc}}+{b\sqrt{b^2+8ac}}+{c\sqrt{c^2+8ba}}}$ ($bunhiacovxki$)

Đặt $M={a\sqrt{a^2+8bc}}+{b\sqrt{b^2+8ac}}+{c\sqrt{c^2+8ba}}$

$={\sqrt{a}.\sqrt{a}\sqrt{a^2+8bc}}+{\sqrt{b}.\sqrt{b}\sqrt{b^2+8ac}}+{\sqrt{c}.\sqrt{c}\sqrt{c^2+8ba}}$

${\sqrt{a}\sqrt{a^3+8bca}}+{\sqrt{b}\sqrt{b^3+8bca}}+{\sqrt{c}\sqrt{c^3+8bca}}$

$M^2\leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)=(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3.(2\sqrt{a}\sqrt{b}).(2\sqrt{b}\sqrt{c}).(2\sqrt{c}\sqrt{a}))$ ( $bunhiacovxki$)

$\leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a))$ ( $cauchy$)

$=(a+b+c)(a+b+c)^{3}=(a+b+c)^{4}$

$=> M \leq (a+b+c)^2$

$A\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

$Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 27-05-2018 - 20:02

[email protected] (7 - 4)(8 - 2)(2 - 3)(5 - 2)(7 - 4)


#295 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:football

Đã gửi 27-05-2018 - 20:09

Mình có cách khác hay hơn cho bài này :icon6:

$<=>\frac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\frac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ba}}$

$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{{a\sqrt{a^2+8bc}}+{b\sqrt{b^2+8ac}}+{c\sqrt{c^2+8ba}}}$ ($bunhiacovxki$)

Đặt $M={a\sqrt{a^2+8bc}}+{b\sqrt{b^2+8ac}}+{c\sqrt{c^2+8ba}}$

$={\sqrt{a}.\sqrt{a}\sqrt{a^2+8bc}}+{\sqrt{b}.\sqrt{b}\sqrt{b^2+8ac}}+{\sqrt{c}.\sqrt{c}\sqrt{c^2+8ba}}$

${\sqrt{a}\sqrt{a^3+8bca}}+{\sqrt{b}\sqrt{b^3+8bca}}+{\sqrt{c}\sqrt{c^3+8bca}}$

$M^2\leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+24abc)=(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3.(2\sqrt{a}\sqrt{b}).(2\sqrt{b}\sqrt{c}).(2\sqrt{c}\sqrt{a}))$ ( $bunhiacovxki$)

$\leq (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a))$ ( $cauchy$)

$=(a+b+c)(a+b+c)^{3}=(a+b+c)^{4}$

$=> M \leq (a+b+c)^2$

$A\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

$Q.E.D$

  Bạn ơi nếu a, b, c =0 thì tất cả cm của bạn đều sụp đổ, cái này đã có nhiều người nhầm lẫn.


"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10

                                                                                                            


#296 Lao Hac

Lao Hac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:( ͡° ͜ʖ ͡°)
  • Sở thích:( ͡° ͜ʖ ͡°)

Đã gửi 27-05-2018 - 20:15

  Bạn ơi nếu a, b, c =0 thì tất cả cm của bạn đều sụp đổ, cái này đã có nhiều người nhầm lẫn.

Không được đâu bạn. Nếu $a=b=c=0$ thì phân số không có nghĩa ( do mẫu số sẽ = 0 ) nên chuyện đó không xảy ra được từ đầu rồi


[email protected] (7 - 4)(8 - 2)(2 - 3)(5 - 2)(7 - 4)


#297 PhanThai0301

PhanThai0301

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 166 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:football

Đã gửi 27-05-2018 - 20:18

Không được đâu bạn. Nếu $a=b=c=0$ thì phân số không có nghĩa ( do mẫu số sẽ = 0 ) nên chuyện đó không xảy ra được từ đầu rồi

 Ko có gì là ko thể xảy ra cái này là phần lưu ý khi cm BĐT rồi bạn.


"IF YOU HAVE A DREAM TO CHASE,NOTHING NOTHING CAN STOP YOU"_M10

                                                                                                            


#298 MoMo123

MoMo123

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 332 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\text{Trường}$ $\boxed{\text{THPT Chuyên KHTN}}$

Đã gửi 28-05-2018 - 23:34

Cháy lên nào TOPIC ơi

$\boxed{\text{Bài 135}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{8}{a+b)^2+4abc}+\frac{8}{(b+c)^2+4abc}+\frac{8}{(c+a)^2+4abc} +a^2+b^2+c^2 \geq \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}$

$\boxed{\text{Bài 136}}$ Cho $x,y,z,t$ là các số thực dương. Chứng minh

$(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)(t^2+1)\geq \frac{16}{27}(x+y+z+t)^2$

$\boxed{\text{Bài 137}}$ Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm Min $P=2(a^2b+b^2c+c^2a)+a^2+b^2+c^2+4abc$

 



#299 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 578 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 29-05-2018 - 00:26

Cháy lên nào TOPIC ơi

$\boxed{\text{Bài 135}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng

$\frac{8}{a+b)^2+4abc}+\frac{8}{(b+c)^2+4abc}+\frac{8}{(c+a)^2+4abc} +a^2+b^2+c^2 \geq \frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}$

 

Ta có:

$\frac{8}{(a+b)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2}\geq \frac{8}{(a+b)^2(c+1)}+\frac{(a+b)^2}{4}\geq \frac{4}{\sqrt{2(c+1)}}\geq \frac{8}{c+3}$

Thiết lập các BĐT còn lại ta có đpcm


DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#300 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 29-05-2018 - 08:41

Bài 138: Với a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 29-05-2018 - 13:46






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh